Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2014.2, questão 2

Considere a curva parametrizada plana α definida por α t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1 .

  1. Encontre apenas um parâmetro t que corresponda a um ponto do traço de α (imagem) onde o vetor velocidade V t é paralelo à reta y = x .
  2. Seja β : R R 3 a curva parametrizada espacial cujo traço está contido no gráfico de z = y - 1 2 - x - 2 2 e cuja projeção de β t no plano x y é α .
  1. Exiba uma parametrização de β .
  2. Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 , z 0 do traço de β em que a reta tangente r é paralela ao plano O x y .

Passo 1

a) Bom, essa parametrização tem coisa ao cubo, ao quadrado, então muito bom terem pedido apenas um parâmetro hehehe

Beleza, vamos lá. Primeiro, o que é o vetor velocidade? Se temos uma trajetória qualquer, no caso, a curva parametrizada que foi dada, então a velocidade é o vetor tangente em cada ponto da curva! E o que quer dizer que o vetor velocidade é paralelo a algum outro? Significa que são múltiplos! Com essas duas informações, já podemos resolver o problema :D

Desenvolvendo a primeira parte, que dizemos que o vetor é tangente à trajetória, basta encontrarmos a derivada da curva em função de seu parâmetro:

α t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1

α ' t = 2 t - 3 t 2 + 1 ,   2 t + 3 t 2 - 1

E pronto, temos a expressão para o vetor velocidade para a curva α t !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor diretor da reta y = x e dizer que ele é múltiplo do vetor velocidade:

x = y r t = 1,1 . t = t , t

Essa parametrização é fácil de ver. Só dizer que x e y têm sempre o mesmo valor, logo, a reta é formada por pontos t , t . Um vetor diretor pode ser o 1,1 .

Como α ' t = 2 t - 3 t 2 + 1 ,   2 t + 3 t 2 - 1 e 1,1 são múltiplos, então,

2 t - 3 t 2 + 1 ,   2 t + 3 t 2 - 1 = k . 1,1

ou seja,

2 t - 3 t 2 + 1 = k 2 t + 3 t 2 - 1 = k

Passo 3

Precisamos resolver esse sistema e encontrar pelo menos um valor para t , como foi pedido. Se somarmos as duas equações, teremos:

4 t = 2 k

k = 2 t

Colocando k = 2 t na primeira equação, teremos:

2 t - 3 t 2 + 1 = 2 t

3 t 2 = 1

t = ± 1 3

E pronto :D conseguimos dois valores para t !!

Passo 4

  1. Bom, se a projeção de β em O x y é a própria α , então quer dizer que as duas primeiras coordenadas, x e y de β são exatamente iguais as de α ! Ou seja,

β t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1 ,   ?

Em que essa terceira coordenada (que tem a interrrogação) é a que vamos descobrir com a função que foi dada, z = y - 1 2 - x - 2 2 .

Passo 5

E agora? Tudo o que temos que fazer é colocar a primeira coordenada de β t como sendo x na função, e a segunda como sendo y , e fica assim:

z = t 2 + t 3 - t + 1 - 1 2 - t 2 - t 3 + t + 2 - 2 2

z = t 2 + t 3 - t 2 - t 2 - t 3 + t 2

E pronto, temos a coordenada z , a altura do ponto de β t . Colocando essa expressão no lugar da interrogação, teremos:

β t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1 ,   t 2 + t 3 - t 2 - t 2 - t 3 + t 2

Passo 6

Show! Só falta um ítem! E esse é clássico :D Lembra o que é necessário para uma reta tangente ser paralela ao plano O x y ? Bom, qualquer coisa que seja paralela ao plano x y , com certeza será perpendicular a qualquer coisa que seja perpendicular ao próprio plano. Então, podemos dizer que essa reta é perpendicular ao eixo z ! Assim o produto escalar entre seu vetor diretor e o vetor diretor do eixo z deve ser zero!

Agora partiu colocar essa teoria em prática! O vetor diretor da reta tangente da β t é o vetor derivada:

β ' t = x ' t , y ' t , z ' t

E o produto (escalar) entre esse vetor e o vetor diretor do eixo z , 0,0 , 1 , deve ser 0 :

x ' t , y ' t , z ' t . 0,0 , 1 = 0

Fazendo o produto escalar:

0 . x ' t + 0 . y ' t + 1 . z ' t = 0

E aí temos que a derivada em relação à coordenada z deve ser 0 :D

Passo 7

Agora vem a parte fácil! Só derivar a coordenada z e igualar a 0 :

z t = t 2 + t 3 - t 2 - t 2 - t 3 + t 2

z ' t = 2 t 2 + t 3 - t 2 t + 3 t 2 - 1 - 2 t 2 - t 3 + t 2 t - 3 t 2 + 1

E vemos, como t aparece em todos os produtos, que se ele for 0 , então z ' t = 0 !

Colocando t = 0 na equação de β t , temos:

β 0 = 0 2 - 0 3 + 0 + 2 ,   0 2 + 0 3 - 0 + 1 ,   0 2 + 0 3 - 0 2 - 0 2 - 0 3 + 0 2

β 0 = 2,1 , 0

Resposta

a)   t = ± 1 3

b)   β t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1 ,   t 2 + t 3 - t 2 - t 2 - t 3 + t 2 e o ponto: β 0 = 2,1 , 0

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