Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Considere a curva plana dada por

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) ,   s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t   ∈ [ 0,2 π ]

c . O ponto mais à esquerda da curva é…

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Essa questão é bastante direta, nos foi dada a seguinte curva

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t ∈ [ 0,2 π ] .

e, precisamos nesta alternativa determinar

c . O ponto mais à esquerda da curva é…

Vamos usar alguns resultados da alternativa anterior! Temos o plot dado por

o ponto mais à esquerda será algo entre o ponto E e F que são para t = 3 π / 4 e t = 3 π / 2 . O ponto mais à direita será dado por t que zera a componente horizontal da derivada da função, na alternativa anterior nós calculamos a derivada da curva como

γ ' ( t ) = [ c o s ( t ) - c o s 2 ( t ) + s i n 2 ( t ) , 2   s i n ( t ) c o s ( t ) - s i n ( t ) ]

então precisamos calcular o valor da curva quando

c o s ( t ) - c o s 2 ( t ) + s i n 2 ( t ) = 0

na alternativa anterior também obtivemos

c o s ( t ) = - 1 / 2 ou c o s ( t ) = 1

Consegue visualizar qual delas nos dá a reta vertical no lado esquerdo? Vem comigo!

Passo 2

Como na alternativa anterior, temos que a solução c o s ( t ) = 1 não nos ajuda, já que a sua solução não está no intervalo que desejamos. A outra solução, no entanto, nos leva para o maior valor de x ( t ) que encontramos na outra alternativa, essa solução era

t = 2 π / 3

Mas, note que a simetria do problema nos ajuda a encontrar o menor valor de x ( t ) já que o cardióide é simétrico em relação ao eixo y , então note que podemos identificar os ângulos como

Note que é possível identificar o ângulo de

t ' = 2 π / 3 + π + π / 2 - 2 π / 3 + π / 2 - 2 π / 3 = 2 π - 2 π / 3

fazendo a fração final, temos que

t ' = 6 π - 2 π 3 = 4 π 3

Usando este ângulo, temos o ponto da curva como

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) = ( - 1.29,0 , 25 )

Essa alternativa foi isso! Vamos para a próxima agora! Até já!

Resposta

γ ( t ) = ( - 1.29,0 , 25 )