Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Considere as retas parametrizadas por

r 1 t = 1 + 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

r 2 t = 1 + t , 1 + 2 t , 1 + 3 t

t ∈ R

Qual dos planos abaixo contém ambas as retas?

  1. - x - y - z + 3 = 0
  2. - x - y - z - 1 = 0
  3. x - y + z - 1 = 0
  4. x + y - z - 1 = 0
  5. - 3 x - 3 y + 3 z + 2 = 0

Passo 1

Para uma reta estar contida no plano é preciso que o vetor diretor da reta seja paralelo ao plano. E se ele é paralelo ao plano, ele tem que ser perpendicular ao vetor normal do plano.

Vamos encontrar os vetores diretores das retas.

r 1 t = 1 + 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

r 2 t = 1 + t , 1 + 2 t , 1 + 3 t

Podemos reescrever essas parametrizações da forma: o que multiplica o parâmetro t + o que não multiplica o parâmetro, assim:

r 1 t = 1,1 , 1 + 2,1 , 3 t

r 2 t = 1,1 , 1 + 1,2 , 3 t

Dessa forma, temos direto que o vetor diretor de r 1 ( t ) é

v 1 = 2,1 , 3

E o vetor diretor de r 2 ( t ) é:

v 2 = 1,2 , 3

Passo 2

Agora precisamos que o vetor normal ao plano seja perpendicular, simultaneamente, a esses dois vetores.

Mas quem é o vetor normal ao plano?? É justamente o que queremos descobrir.

Para encontrar um vetor perpendicular a outros dois vetores, basta fazermos o produto vetorial entre esses dois vetores, assim:

v 1 × v 2 = i j k 2 1 3 1 2 3  

v 1 × v 2 = 1.3   i + 3.1   j + 2.2   k - 1.1   k - 2.3   i - 2.3   j

v 1 × v 2 = - 3 , - 3,3

E esse vetor é perpendicular aos vetores v 1 e v 2 .

Passo 3

Agora, quase acabou a questão. Basta que a gente procure nas opções um plano que tenha como vetor normal o vetor

- 3 , - 3,3

Ou qualquer vetor que seja múltiplo desse.

Lembrando que o vetor normal de um plano é formado pelos coeficientes que multiplicam as variáveis x , y , z , podemos ver que no plano da opção d , os coeficientes que multiplicam x , y , z são

( 1,1 , - 1 )

Que é um vetor múltiplo do vetor - 3 , - 3,3

Beleza, mas assim, as retas r 1 t e r 2 t podem estar contidas no plano da letra d

x + y - z - 1 = 0

E também no plano da letra e

- 3 x - 3 y + 3 z + 2 = 0

Pois é... coisa doida né?

Para descobrir qual é o plano da resposta, a gente precisa verificar mais uma coisinha.

Passo 4

Se temos dois planos com vetores normais possíveis para a nossa resposta, precisamos tentar desempatar pela ouuuuutra coisa que um plano precisa para estar bem definido no espaço, que é o ponto P 0 que pertence ao plano.

A equação geral do plano é

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Se compararmos com a equação do plano da letra d ,

x + y - z - 1 = 0

Temos que

a = 1

b = 1

c = - 1

- a x 0 - b y 0 - c z 0 = - 1

Ou seja

- 1 . x 0 - 1 . y 0 - ( - 1 ) . z 0 = - 1

- x 0 - y 0 + z 0 = - 1

E agora que entra o X da questão.

O que que a gente tá querendo?

Que as duas retas da questão estejam contidas nesse plano, certo?

Então vamos ver se o ponto P 0 = ( 1,1 , 1 ) dessas retas satisfaz essa relação que acabamos de achar:

- x 0 - y 0 + z 0 = - 1 ⇒ - 1 - 1 + 1 = - 1

Simmmmmm!!

Então significa que o plano da letra d é a nossa resposta, pois ele é o plano que contém as duas retas, já que o vetor normal a esse plano é perpendicular ao vetor diretor das retas e ele ainda contém o ponto P 0 que pertence a essas retas.

Resposta

L e t r a   d