Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

Ver Teoria

Enunciado

Considere a curva plana parametrizada

α t = t 2 , t 3 - t ,       t ∈ R

  1. Determine todos os pontos da curva plana nos quais a reta tangente é horizontal ou vertical.
  2. Determine se o traço da curva plana é simétrico com respeito ao eixo x ou ao eixo y
  3. Encontre funções f 1 : 0 , ∞ → R e f 2 : 0 , ∞ → R tais que a união de seus gráficos seja o traço da curva plana dada.
  4. Com o auxilio das informações obtidas nos itens i , i i e i i i , esboce o traço da curva plana, justificando corretamente o desenho da curva obtido. Identifique em seu desenho a orientação da curva, esboçando o vetor velocidade em três pontos distintos.

Passo 1

i )

Primeiro precisamos achar o vetor tangente de α t que é o determina a direção da reta tangente.

α ' t = 2 t , 3 t 2 - 1

A reta tangente é horizontal quando esse vetor só tem componente horizontal, ou seja,

2 t ≠ 0

3 t 2 - 1 = 0

Resolvendo a segunda equação vamos achar

3 t 2 = 1

t 2 = 1 3

t = ± 1 3

t = ± 1 3

Repara que nenhum desses valores vão fazer a componente x do vetor diretor zerar.

Os pontos vão ser aqueles que trocamos esses valores de t em α t

α 1 3 = 1 3 2 , 1 3 3 - 1 3

⇒ 1 3 , 1 3 3 - 1 3

⇒ 1 3 , 1 - 3 3 3

⇒ 1 3 , - 2 3 3

α - 1 3 = - 1 3 2 , - 1 3 3 - - 1 3

⇒ 1 3 , - 1 3 3 + 1 3

⇒ 1 3 , - 1 + 3 3 3

⇒ 1 3 , 2 3 3

Passo 2

Vamos ver agora quando a reta tangente é vertical, isso acontece quando temos apenas componente vertical, ou seja,

3 t 2 - 1 ≠ 0

2 t = 0

Vamos resolver a segunda equação

2 t = 0

t = 0

Repara que nenhum desses valores vão fazer a componente y do vetor diretor zerar.

Os pontos vão ser aqueles que trocamos esses valores de t em α t

α 0 = 0 2 , 0 3 - 0

α 0 = 0,0

Passo 3

i i )

Aqui o que ele quer saber é se essa curva é simétrica em relação ao eixo x ou ao eixo y , para isso vamos ver o valor da curva no t oposto, que seria - t

α - t = - t 2 , - t 3 - - t

α - t = t 2 , - t 3 + t

Repara que mudar o sinal de t não muda o valor da componente x , mas muda o valor da compoenten y então essa curva é simétrica em relação ao eixo x .

Passo 4

i i i )

Aqui ele quer que dada a parametrização α t da curva, tenhamos as funções que podem ter essa parametrização, ou seja, a relação entre x e y que dá essa parametrização.

Repara que temos

x = t 2

y = t 3 - t

Da primeira equação vamos ter

t = ± x

Então já podemos perceber que temos duas funções uma com t ≥ 0 e outra com t < 0

Vamos começar achando f 1 com t ≥ 0

t = x

y = x 3 - x

y = x x - x

Então

f 1 = x x - x

Vamos fazer agora f 2 com t < 0

t = - x

y = - x 3 - - x

y = - x x + x

Então

f 2 = - x x + x

Passo 5

i v )

O traço é fazer a trajetória dessa curva.

A ideia seria fazer o gráfico de f 1 e f 2 , mas essas duas funções não são fáceis de fazer, vamos perceber alguns detalhes e com isso ajudar a fazer o gráfico.

A primeira coisa a notar é que x vai ser sempre positivo, depois como y é uma função polinomial de grau impar, então ele vai de - ∞ até + ∞

A curva “começa” no x → + ∞ e y → - ∞ e “termina” no x → + ∞ e y → - ∞

Repara que

f 1 = x x - 1

f 2 = - x x - 1

Ou seja

f 1 = - f 2

As raízes das duas são iguais, descobrir as raízes não vai ser algo difícil

x x - 1 = 0

x = 0         o u         x - 1 = 0

x = 0         o u         x = 1

Já sabemos as raízes.

vamos ver como é a velocidade dessa parada.

A velocidade vai ser

α ' t = 2 t , 3 t 2 - 1

Repara que se t ≥ 0 o componente x vai ser sempre positivo, ou seja, f 1 começa em t = 0 e vai sempre para direita.

Agora vamos com calma, temos dois pontos que são as raízes, sabemos onde “começa” e onde “termina” a função. Se a função f 1 “começa” no zero e tem duas raízes ela vai fazer um mínimo em algum lugar entre as raízes, e depois vai seguir para + ∞ .

Como as funções f 1 e f 2 são iguais só mudando o sinal isso vai acontecer também com f 2 só que dessa vez ele vai ter um máximo entre as raízes.

A última coisa para descobrir agora é onde a velocidade começa a fazer a mudança de sentido. Já vimos como é o sentido da velocidade em x vamos ver em y

3 t 2 - 1

Vamos ter que analisar seu sinal repara que

3 t 2 - 1 ⇒ s e t ≤ - 1 3       o u       t ≥ 1 3 e n t ã o 3 t 2 - 1 ≥ 0 s e - 1 3 ≤ t ≤ 1 3 e n t ã o 3 t 2 - 1 < 0

Isso porque a raízes disso já vimos lá em cima, e sabemos que é uma função de segundo grau com o coeficiente em t 2 maior que 0 .

Isso nos diz que a velocidade em f 1 começa para baixo ( α ' 0 = 0 , - 1 depois para baixo e para direita até o ponto t = 1 3 depois ele vai para cima e para direita, passa pela raiz e vai para o infinito. A função f 2 vai ser igual com sinal todo trocado, então o gráfico vai ficar

Resposta

  1. H o r i z o n t a l → 1 3 , - 2 3 3       e       1 3 , 2 3 3
  2. V e r t i c a l → 0,0

  3. Simétrico em relação a x
  4. f 1 = x x - x
  5. f 2 = - x x + x