Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

A equação do plano que passa pelo ponto ( - 2 ,   8 ,   10 ) e é perpendicular a reta L :   x = 1 + t ,     y = 2 t ,   z = 4 - 3 t ,     t ∈ R   é dada por:

  1. x + y + z - 6 = 0
  2. x =   - 2 + t ,   y = 8 + 2 t ,   z = 10 - 3 t ,     t ∈ R
  3. 4 x + y + z - 10 = 0
  4. x + 2 y - 3 z + 16 = 0
  5. x + 2 y - 3 z = 0

Passo 1

A questão pede um plano com duas características:

A primeira é passar pelo ponto ( - 2 ,   8,10 ) . Se um ponto está dentro de um plano, quer dizer que esse ponto satisfaz a equação do plano. Então a gente vai testar os pontos em cada equação e ver um onde isso acontece, beleza?

A segunda é ser perpendicular a uma reta. Pensa comigo: se a reta é perpendicular ao plano, significa que o vetor na direção dessa reta também é normal ao plano. Vetor normal ao plano? Essa informação a gente também não consegue tirar da equação do plano? Então o que a gente quer é um plano que tenha o vetor normal paralelo ao vetor diretor da reta. Para isso, um tem que ser múltiplo do outro.

Passo 2

Vamos analisar primeiro essa questão do vetor, por ser menos trabalhosa. Temos essa reta: L :   x = 1 + t ,     y = 2 t ,   z = 4 - 3 t ,     t ∈ R .

O vetor diretor dela é formado pelos coeficientes que estão multiplicados pelo t em cada componente. Então o vetor diretor é u → = ( 1 ,   2 ,   - 3 ) .

Passo 3

Já no caso do plano, o vetor normal vai ser formado pelos coeficientes que estão multiplicados pelas variáveis. Digamos que ele seja o vetor n → = ( a , b , c ) .

A gente está procurando o plano que tem o vetor normal paralelo ao vetor diretor da reta, então a gente quer:

( a , b , c ) = λ ( 1,2 , - 3 )

Ou seja, o número que multiplica x precisa ser um múltiplo de 1 , que multiplica y de 2 e que multiplica z de - 3 .

E isso só acontece para letra d e para a letra e. Viu como cortamos várias alternativas?

Passo 4

Agora olhando a primeira condição: Não tem jeito. Tem que testar um por um. Temos o ponto ( - 2 ,   8 ,   10 )

Para letra d:

x + 2 y - 3 z + 16 = 0 ∴ - 2 + 2 8 - 3 10 + 16 = 0

Vemos que o ponto satisfez a equação. Realmente deu zero no final! Então essa é a nossa alternativa, a letra d.

Resposta

Letra d.