Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Seja C a curva no plano x y parametrizada por

r t = t 2 - 1 , t 3 - t ,   t ∈ R

E considere as seguintes afirmativas:

  1. C cruza o eixo y em um único ponto do plano.
  2. C é tangente à reta x = - 1 em um único ponto do plano.
  3. C está contida no gráfico da função y = f x = x x + 1

Indique a alternativa correta:

  1. Todas as afirmativas são verdadeiras
  2. As afirmativas I e II são verdadeiras e a III é falsa
  3. As afirmativas I e III são verdadeiras e a II é falsa
  4. As afirmativas II e III são verdadeiras e a I é falsa
  5. Todas as afirmativas são falsas

Passo 1

Vamos analisar cada afirmativa.

Começando, adivinhe só, pela primeira! ÓHH!

C cruza o eixo y em um único ponto do plano.”

Para cruzar o eixo y , a coordenada x da curva tem que valer zero, então vamos lá anular essa bagaça.

r t = t 2 - 1 , t 3 - t

x t = t 2 - 1 = 0

t 2 = 1

t = 1 = ± 1

Assim, achamos dois valores possíveis para t . Mas antes de sair por aí dizendo que a primeira afirmativa é falsa, vamos testar esses valores para ver se eles nos dão um único ponto ou mais de um.

Substituindo t = 1 na curva:

r 1 = 1 2 - 1 , 1 3 - 1 = ( 0,0 )

Substituindo t = - 1 na curva:

r - 1 = ( - 1 ) 2 - 1 , - 1 3 - ( - 1 ) = ( 0,0 )

OPAAA, então mesmo tendo dois valores para t , temos um único ponto no plano onde C cruza o eixo y .

Afirmativa I é verdadeiríssima!

Passo 2

Vamos para a próxima:

C é tangente à reta x = - 1 em um único ponto do plano.”

Para saber isso, podemos calcular em quais pontos a curva assume o valor x = - 1 .

Olhando para a curva:

r t = t 2 - 1 , t 3 - t

Vemos que x = t 2 - 1 . Logo, se x = - 1 :

- 1 = t 2 - 1

t 2 = 0

t = 0

Dessa forma, vemos que quando t = 0 , a coordenada x da curva é - 1 , cruzando a reta x = - 1 nesse ponto!!

Como é apenas um ponto, vemos que a afirmativa II é verdadeira!.

Passo 3

Agora vamos para a última afirmativa.

C está contida no gráfico da função y = f x = x x + 1

Se isso for verdade, quando a gente substituir o x ( t ) da nossa curva

x t = t 2 - 1

Na expressão da função y = f ( x ) , vamos obter exatamente a expressão do y ( t ) da curva, ou seja,

y t = t 3 - t

Vamos testar?

f x ( t ) = t 2 - 1 t 2 - 1 + 1

f x ( t ) = t 2 - 1 t 2

Opa opa opaaa... muita calma nessa hora. Cuidado com a pegadinhaa.

Se a gente tirar a raiz do t 2 , a gente fica com t , e não só t .

Tipo que olha essas coisas aqui que são diferentes:

t 2 ≠ t 2

O t 2 = t e o t 2 = t , sacou?

Mas continuando...

f x ( t ) = t 2 - 1 t

Que não é a mesma coisa que y t = t 3 - t , né?

Então essa é falsa. A curva não está contida no gráfico da função.

Resposta

L e t r a   b