Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Uma partícula se move de acordo com a lei r t = 2 t , t 2 - 1 , t 2 + 1 , para todo t ∈ R .

a) Determine, caso existam, as posições e velocidades da partícula nos instantes em que ela atravessa o plano x O z .

b) Determine, caso existam, as posições nos instantes em que o vetor velocidade é paralelo aos eixos O x , O y e O z , respectivamente.

Passo 1

a) Para qualquer coisa cruzar o plano x O z , temos que ter coordenada y t = 0 , certo?

No nosso caso, para a lei r t , isso acontece quando

t 2 - 1 = 0

t = ± 1

Ou seja, para t = ± 1 , temos a partícula passando pelo plano x O z :D

Para esses valores teremos as posições:

r 1 = 2,0 , 2

r - 1 = - 2,0 , 2

Passo 2

Agora vejamos as velocidades para a partícula em cada um dos casos. Como o vetor velocidade é a derivada da trajetória, teremos:

r ' t = 2,2 t , 2 t

Colocando agora t = 1 , teremos:

r ' 1 = 2,2 , 2

Como esse vetor velocidade é não nulo, vemos que a partícula está realmente atravessando o plano!

Para o parâmetro t = - 1 , teremos:

r ' - 1 = 2 , - 2 , - 2

novamente, vetor velocidade não nulo, partícula atravessando o plano :D

Passo 3

b) Como vimos, o vetor velocidade é r ' t = 2,2 t , 2 t . Para ele ser paralelo ao eixo x , então ele deve ser múltiplo de 1,0 , 0 , logo, teríamos:

2,2 t , 2 t = λ 1,0 , 0

Essa equação tem solução quando t = 0 e λ = 2 . Quando t = 0 , temos a posição:

r 0 = 0 , - 1,1

Da mesma forma, para ser paralelo ao eixo y , teríamos que ter:

2,2 t , 2 t = λ 0,1 , 0

Mas isso é impossível, pois não podemos ter 2 = λ . 0 pela igualdade das primeiras coordenadas! Logo, a velocidade nunca é paralela ao eixo y .

Para ser paralela ao eixo z , teríamos que ter:

2,2 t , 2 t = λ 0,0 , 1

Mesmo problema que o anterior... não podemos ter 2 = λ . 0 ! Assim, também nunca será paralelo ao eixo z !

Resposta

a) Posições: r 1 = 2,0 , 2 e r - 1 = - 2,0 , 2 . Velocidades: r ' 1 = 2,2 , 2 e   r ' - 1 = 2 , - 2 , - 2

b) Paralelo ao eixo x em r 0 = 0 , - 1,1 . Nunca será paralelo aos outros eixos!