Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Considere a curva plana dada por

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) ,   s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t   ∈ [ 0,2 π ]

e . O ponto mais baixo da curva é…

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Essa questão é bastante direta, nos foi dada a seguinte curva

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) ,   t ∈ [ 0,2 π ] .

e, precisamos nesta alternativa determinar

e . O ponto mais baixo da curva é…

Vamos usar alguns resultados da alternativa anterior! Temos o plot dado por

temos apenas um ponto em que a altura é mínima. Assim como fizemos na alternativa anterior, isso ocorre quando a componente vertical, y , da derivada da curva se anula, a derivada foi calculada nos passos anteriores como

γ ' ( t ) = [ c o s ( t ) - c o s 2 ( t ) + s i n 2 ( t ) , 2   s i n ( t ) c o s ( t ) - s i n ( t ) ]

Note que existem três pontos em que isso acontece, observe que o gráfico tem dois máximos e um mínimo, vamos ter que usar de outros argumentos para diferenciar entre eles! Vamos lá!

Passo 2

A componente vertical da derivada se anula quando

2   s i n ( t ) c o s ( t ) - s i n ( t ) = 0

quanto temos que

c o s ( t ) = 1 / 2

obtemos os máximos, como foi feito na alternativa anterior, o mínimo ocorre quando temos que

s i n ( t ) = 0

relação verdadeira para t = n π , como a derivada não é bem definida em t = 0 (o gráfico tem uma quina), temos que o próximo valor em nosso intervalo é t = π , em que a curva vale

γ ( t ) = ( s i n ( t ) - s i n ( t ) c o s ( t ) , s i n 2 ( t ) + c o s ( t ) ) = ( 0 , - 1 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

γ ( t ) = ( 0 , - 1 )