Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.17. questão 20.

Considere a hélice definida por σ θ = acos θ ,   a s e n   θ ,   b θ . Mostre que a reta tangente, em cada ponto da hélice, faz um ângulo constante com o eixo z , e que o cosseno dessa ângulo é b a 2 + b 2 .

Passo 1

Bom, para a reta tangente a hélice fazer um ângulo constante com o eixo z o seu vetor diretor tem que fazer um ângulo constante com o vetor diretor do eixo z .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora quem são esses vetores diretores?

O da reta tangente a gente já sabe que é o vetor tangente σ ' ( θ ) . Agora, o do eixo z nada mais é do que o vetor v = 0,0 , 1 . Faz sentido, né?

Passo 3

Tá, agora para mostrar que o vetor tangente σ ' ( θ ) faz o mesmo ângulo com o vetor v = 0,0 , 1 em qualquer ponto, podemos dizer que:

v σ ' θ = v . σ ' θ . cos α

Onde α é o ângulo entre os vetores σ ' ( θ ) e v .

Queremos provar que α é constante para qualquer valor de θ e que

cos α = v . σ ' θ v σ ' θ = b a 2 + b 2 = c o n s t a n t e  

Então vamos lá:

Calcular o vetor tangente a hélice num ponto qualquer:

σ ' θ = ( - a s e n   θ , acos θ , b )

Calcular σ ' θ :

σ ' θ = - a s e n   θ 2 + acos θ 2 + b 2 = a 2 + b 2

Passo 4

Calcular v :

v = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1

Passo 5

Calcular o produto escalar v σ ' θ :

v σ ' θ = 0,0 , 1 . - a s e n   θ , acos θ , b = 0 - a s e n   θ + 0 acos θ + 1 b = b

Passo 6

Substituir esses termos em

cos α = v σ ' θ v σ ' θ

E verificar se a igualdade é verdadeira.

cos α = b 1 . a 2 + b 2

Assim, provamos o que foi pedido na questão.

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