Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

A curva C parametrizada por r t =   t , t 2 , t 2 ,   t ≥ 0 , intercepta ortogonalmente o plano x + y + z = a ,   a ∈ R . Qual o valore de a ?

Passo 1

Primeiramente, vamos reparar o seguinte: A curva C intercepta ortogonalmente o plano, em outras palavras, o vetor tangente a curva C no ponto de interseção é normal ao plano.

Então vamos calcular o vetor tangente a curva C :

r ' t = 1,2 t , 2 t

Passo 2

Percebemos no passo anterior que esse vetor r ' t é normal ao plano, ou seja, ele é paralelo ao vetor normal ao plano.

Sabemos que um vetor normal ao plano é formado pelos coeficientes que multiplicam x , y , z . No caso do plano fornecido temos:

x + y + z = a

Portanto, n → = 1 , 1,1

Passo 3

Como r ' t é paralelo a n → , temos:

r ' t 0 = λ n →

1,2 t 0 , 2 t 0 = λ , λ , λ

Da primeira componente

λ = 1

Da segunda componente

t 0 = 1 2

Passo 4

Logo, no ponto de interseção a curva C assume os valores:

r t =   t , t 2 , t 2

r 1 2 = 1 2 , 1 4 , 1 4

Como é o ponto de interseção, esses valores devem satisfazer a equação do plano. Então:

x + y + z = a

1 2 + 1 4 + 1 4 = a

Portanto:

a = 1

Resposta

a = 1