Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

UFRJ, Cálculo Diferencial e Integral 2, P1 2012.2, questão 3.1

A espiral logarítmica é a curva plana definida por γ t = ( e - t cos t , e - t sen t ) .

Mostre que o vetor posição γ ( t ) faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.

Passo 1

Para mostrar que o vetor posição γ ( t ) faz o mesmo ângulo com o vetor tangente γ ' ( t ) em qualquer ponto, então podemos dizer que:

γ t . γ ' t = γ ( t ) . γ ' t . cos θ

Onde θ é o ângulo entre os vetores γ ( t ) e γ ' ( t ) .

Queremos provar que θ é constante para qualquer valor de t .

Logo, queremos provar que:

cos θ = γ t . γ ' t γ ( t ) . γ ' t = c o n s t a n t e  

Para isso, devemos encontrar o vetor tangente γ ' ( t ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular γ ' ( t ) :

γ ' t = ( - cos t - sen t e - t , cos t - sen t e - t )  

Passo 3

Calcular γ ( t ) :

γ ( t ) = e - t cos t 2 + e - t sen t 2 )  

γ ( t ) = cos 2 t + sen 2 t 1 e - 2 t  

γ ( t ) = e - t

Passo 4

Calcular γ ' ( t ) :

γ ' ( t ) = - sen t - cos t e - t 2 + - sen t + cos t e - t 2

γ ' ( t ) = - cos t - sen t e - t 2 + cos t - sen t e - t 2

γ ' ( t ) = - cos t - sen t 2 e - 2 t + cos t - sen t 2 e - 2 t

γ ' ( t ) = cos 2 t + sen 2 t 1 + 2 cos t sen t e - 2 t + cos 2 t + sen 2 t 1 - 2 cos t sen t e - 2 t

γ ' ( t ) = 2 e - 2 t

γ ' ( t ) = 2 e - t

Passo 5

Calcular o produto escalar: γ t γ ' ( t ) :

γ t γ ' t = e - t cos t . - cos t - sen t e - t + e - t sen t . ( cos t - sen t e - t )

γ t γ ' t = - e - 2 t ( cos 2 t + sen 2 t 1 + sen t cos t - sen t cos t )

γ t γ ' t = - e - 2 t

Passo 6

-

Substituir todos esses termos:

cos θ = γ t . γ ' t γ t . γ ' t

cos θ = - e - 2 t e - t . 2 e - t

cos θ = - 1 2

Então cos θ = c o n s t a n t e , conforme queríamos mostrar.

Logo: o vetor posição γ ( t ) faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.

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