Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Uma partícula se desloca no plano x y com vetor posição definido por r t = 2 t 3 ,   1 + 4 t + t 2 , t ≥ 0 . Num dado instante ela se encontra num ponto P 0 de sua trajetória tal que sua velocidade faz um ângulo de 45° com os eixos coordenados. Encontre P 0 .

Passo 1

Primeiro começamos encontrando o vetor velocidade . Temos:

r ' t = 6 t 2 ,   4 + 2 t , t ≥ 0

Passo 2

Se o vetor velocidade faz um ângulo de 45° com os eixos coordenados, isso significa que ele é paralelo ao vetor 1,1 . Então podemos fazer:

r ' ( t ) = 6 t 2 ,   4 + 2 t = λ 1,1

Temos:

6 t 2 = λ

4 + 2 t = λ

Então fica:

6 t 2 = 4 + 2 t

Agora, basta resolver a equação do segundo grau:

3 t 2 - t - 2 = 0

∆ = 25

t = 1 ± 5 6 = - 2 / 3   o u   1

Como t ≥ 0 , t = 1

Passo 3

Só falta encontrar r ( 1 ) . Substituindo:

r 1 = ( 2,6 )

Logo:

P 0 = ( 2,6 )

Resposta

P 0 = ( 2,6 )