Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2012.2, questão 2b

Uma partícula se move de acordo com a lei r t = 2 t , t 2 - 1 , t 2 + 1 , para todo t R .

Determine, caso existam, as posições nos instantes em que o vetor velocidade é paralelo aos eixos O x , O y e O z , respectivamente.

Passo 1

Primeiro precisamos obter o vetor velocidade. Como o vetor velocidade é a derivada da trajetória, teremos:

r ' t = 2,2 t , 2 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como vimos, o vetor velocidade é r ' t = 2,2 t , 2 t . Para ele ser paralelo ao eixo x , então ele deve ser múltiplo de 1,0 , 0 , logo, teríamos:

2,2 t , 2 t = λ 1,0 , 0

Olha a segunda equação, 2 t = 0 . O que podemos concluir? Isso mesmo! t = 0 .

Agora, olha a primeira λ = 2 !

Então essa equação tem solução quando t = 0 e λ = 2 . Quando t = 0 , temos a posição:

r 0 = 0 , - 1,1

Passo 3

Da mesma forma, para ser paralelo ao eixo y , teríamos que ter:

2,2 t , 2 t = λ 0,1 , 0

Mas isso é impossível, pois não podemos ter 2 = λ 0 pela igualdade da primeira coordenada! Logo, a velocidade nunca é paralela ao eixo y .

Passo 4

Para ser paralela ao eixo z , teríamos que ter:

2,2 t , 2 t = λ 0,0 , 1

Mesmo problema que o anterior... não podemos ter 2 = λ . 0 ! Assim, também nunca será paralelo ao eixo z !

Resposta

Paralelo ao eixo x em r 0 = 0 , - 1,1 . Nunca será paralelo aos outros eixos!

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas