Exercícios Resolvidos de Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

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Enunciado

Os vetores unitários que são paralelos à reta tangente à curva y = 2 x 2 no ponto ( 2,8 ) são:

  1. ± i ^ + j ^ 65
  2. ± i ^ + 8 j ^ 65
  3. ± 2 i ^ + 8 j ^ 65
  4. ± 2 i ^ - 8 j ^ 65
  5. ± i ^ - 8 j ^ 65

Passo 1

Essa questão é interessante porque a gente pode resolver ela de duas formas. Uma é mais imediata e outra mais tradicional. Vamos fazer dos dois jeitos.

Do jeito mais imediato, a gente poderia observar que só um dos vetores das alternativas é unitário (com ele pede), que é o da letra b.

Mas se você não tivesse essa sacada na hora ou se cair uma questão parecida na sua prova que não tenha esse detalhe nas opções? A gente usa o método tradicional.

Ser paralelo a uma reta tangente a uma curva é o mesmo que ser paralelo ao vetor tangente dessa curva.

Se acharmos o vetor tangente a curva no ponto dado, podemos descobrir que vetores são paralelos descobrindo que vetores são múltiplos do nosso vetor tangente.

Passo 2

Para conseguir um vetor tangente, precisamos parametrizar essa curva. Como é uma parábola, podemos usar a parametrização natural.

y = 2 x 2

Chamando x = t .

y = 2 t 2

r t = ( t , 2 t 2 )

Passo 3

Precisamos descobrir quem é o t correspondente ao ponto P 0 = ( 2,8 ) , para conseguirmos calcular o vetor tangente nesse ponto. Vamos igualar a equação da curva ao ponto.

r t = 2,8

t , 2 t 2 = 2,8

Igualando as componentes, temos que t = 2 .

Passo 4

Calculando o vetor tangente de fato.

r ' t = ( 1,4 t )

No ponto 2,8 ,   onde t = 2 .

r ' 2 = ( 1,8 )

Agora a gente olha para as alternativas e vê que vetor é múltiplo de 1,8 . Que é exatamente o vetor da letra b.

Resposta

Letra b