Exercícios Resolvidos de Vigas – Efeitos Internos

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 215-5/136

Construa os diagramas de cortante e de momento para a viga carregada pelas cargas pontual e distribuída. Quais são os valores do cortante e do momento em x   =   6   m ? Determine o momento fletor máximo M m á x .

Passo 1

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre e como temos uma carga distribuída, vamos achar a resultante dela:

F R = 800 3 = 2400   N

Agora podemos começar o equilíbrio calculando o momento com relação ao ponto A :

∑ M A = 0 →   B y 9 - 1500 7 - ( 2400 ) ( 3,5 ) = 0

B y = 2100   N

E por fim o somatório de forças em cada eixo:

∑ F x = 0   →   A x = 0

∑ F Y = 0   →   A y -   2400   - 1500 + 2100   = 0

A y = 1800   N

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Passo 2

Onde tem reação de apoio tem descontinuidade do cortante, então nos pontos A e B o cortante vai de zero ao valor da reação:

V A e s q =   0     ;     V A d i r =   1800   N

Sendo que no ponto B, a reação aponta no sentido contrário do cortante positivo, então:

V B e s q = -   2100   N     ;     V B d i r =   0

E o momento fletor nesses pontos? Como temos apoios que não impedem a rotação e estão na extremidade da viga sem nenhum momento concentrado sobre eles, então o momento nesses pontos é nulo:

M A = 0     ;     M B = 0

Passo 3

Lembra que se temos a equação do cortante é só derivarmos para achar a equação do carregamento?

ω = - d V d x

Só que não temos a expressão do cortante, pois é justamente o que queremos saber. Mas... temos o carregamento!!!

Nossa carga distribuída é retangular, logo a sua equação é uma constante e vale:

ω = 800

Para achar a equação do cortante a partir dessa equação é só integrarmos e multiplicar por - 1 , assim:

V = - ∫ ω d x → V =   - ∫ 800 d x

V =   - 800 x + C 1

Lembra desse C 1 ? É a nossa constante de integração e temos que colocar toda vez que não temos um intervalo de integração definido.

Para acharmos seu valor, temos que saber quanto vale o cortante x   =   2   m , ou seja, bem onde começa a carga distribuída, porque é fácil sabermos o cortante neste ponto.

Repare que do ponto A até o ponto C 1 não há mais nenhuma força, então o cortante neste trecho é constante e vale o mesmo valor do cortante em A pela direita.

Então, quando x   =   2   m   → V = 1800   N . Vamos substituir isto na fórmula de V que achamos:

1800 =   - 800 ( 2 ) + C 1

C 1 = 3400

Então, a expressão do cortante para o trecho de carga distribuída é:

V =   - 800 x + 3400

Passo 4

Então, quanto vale o cortante no ponto D ? É só substituirmos o valor de x   =   5   m :

V D =   - 800 5 + 3400

V D =   - 600   N

Perceba que no trecho entre os pontos D e E não tem nada, então o cortante é constante neste trecho e com o valor de V D =   - 600   N . Então, ao fazer uma seção no ponto E :

Qual é a resultante do cortante neste ponto, então?

V E =   - 600 - 1500 → V E = - 2100   N

Passo 5

Lembra que derivando a equação do momento fletor obtemos a equação do cortante? Então, vamos fazer o processo inverso já que temos a expressão do cortante para o trecho C D - .

V = d M d x     →   M = ∫ V d x

M C D - = ∫ - 800 x + 3400 d x

M C D - = - 400 x 2 + 3400 x + C 2

Para achar o valor da constante C 2 temos que saber quanto vale o momento fletor em

x   =   2   m , que é um ponto fácil de calcular:

M A y = 1800 2 =   3600   N m

Então, o momento fletor no ponto C é:

M C = +   3600   N m

Quando x   =   2   m → M C = +   3600   N m , vamos substituir isso na equação M C D - :

  3600 = - 400 2 2 + 3400 ( 2 ) + C 2

C 2 =   - 1600

Então, a equação do momento fletor no trecho C D - é:

M C D - = - 400 x 2 + 3400 x - 1600

Passo 6

Para saber o momento fletor no ponto D é só substituir x   =   5   m na equação do momento:

M D = - 400 5 2 + 3400 ( 5 ) - 1600

M D = -   5400   N m

Passo 7

Para calcular o momento fletor no ponto E , é só vermos o momento que a reação A y e a força resultante F R   faz com relação a este ponto:

M A y = 1800 7 =   12600   N m

M F R = 2400 3,5 =   8400   N m

Então, o momento fletor no ponto E   é :

M E =   +   4200   N m

Passo 8

O nosso diagrama do cortante, vai ficar:

O diagrama de momento fletor, vai ficar assim:

Passo 9

Feito os diagramas, podemos responder quais são os valores do cortante e do momento em

x   =   6   m .

O cortante será:

V =   - 600   N

Para sabermos o momento, vamos achar a equação da reta naquele trecho D E - . Sabemos que é uma equação do primeiro grau da forma: y   =   -   a x   +   b e que quando:

  • x   =   5   m → M D = +   5400   N m
  • x   =   7   m → M E = +   4200   N m

Então nossa equação será:

M D E - =   - 600 x + 8400

Então, quando x   =   6   m :

M =   - 600 ( 6 ) + 8400

M =   4800   N m

Passo 10

Para finalizar, vamos achar o momento máximo. Perceba que ele ocorre no trecho C D - , então vamos derivar a equação do momento deste trecho e igualar à zero:

d M C D - d x = 0

- 800 x + 3400 = 0   → x = 4,25   m

Sabemos que o momento máximo ocorre em x = 4,25   m , agora temos que achar o valor deste momento:

M m á x = - 400 4,25 2 + 3400 ( 4,25 ) - 1600

M m á x = 5625   N m

Resposta

V e r   d i a g r a m a s   a c i m a

  V =   -   600   N

M = 4800   N m

M m á x = 5625   N m

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