Exercícios Resolvidos de Vigas – Efeitos Internos

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 240, 5/215

Determine o momento fletor máximo, M m á x , para a viga carregada e especifique a distância x à direita da extremidade A onde M m á x ocorre.

Passo 1

O primeiro passo é definir uma equação q para a força distribuída. Observe que essa distribuição tem o formato de uma reta inclinada, então podemos escrever:

q x = a x + b

O valor de a pode ser encontrado através pela tangente do triângulo:

a = t g   α = 600 3 = 200

Como a reta está decrescendo, o valor de a será negativo!

Assim, a nossa equação do carregamento fica:

q x = - 200 x + b

E quando x = 0 temos que q x = 0 = 600 , então substituindo isso na nossa equação vamos ter que:

q x = - 200 x + b       →           600 = - 200 ( 0 ) + b

b = 600

Então, a nossa equação do carregamento distribuído ficou:

q x = - 200 x + 600

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular a força resultante da carga distribuída e para isso é só calcularmos a área do triângulo:

F r = 600 3 2 = 900   N

E a sua posição em relação ao ponto A ?

Vai ser dada por 1 3 da altura do triângulo:

x - = 1 3 3 = 1   m

Além disso, precisamos calcular as reações em A e B também. Primeiro vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A e considerar como positivo o momento no sentido anti-horário:

∑ M A = 0 →   - 900 1 + R B 2 = 0

R B = 450   k N

E agora vamos fazer o somatório de forças verticais:

∑ F → = 0 →     →       R A + R B - F r = 0

450 + R A - 900 = 0     →     R A = 450   N

Passo 3

Sabemos que para achar a equação do cortante V precisamos integrar a equação do carregamento e multiplicar o resultado por - 1 :

V 1 x = - ∫ q   d x

Mas temos que fazer isso para cada intervalo da viga. O primeiro vai de x = 0 a x = 2   m :

V 1 x = - ∫ ( - 200 x + 600 )   d x

V 1 x = 100 x 2 - 600 x + C 1

Esse C 1 é a constante de integração. Mas qual será o seu valor?

Sabemos que quando x = 0 , o valor do cortante será igual ao valor da reação:

V 1 x = 0 = R A = 450   N

Então, vamos substituir isso na nossa equação:

V 1 x = 0 = 100 0 2 - 600 0 + C 1 = 450

C 1 = 450

Então, a equação do cortante para o trecho da viga que vai de x = 0 até x = 2   m é:

V 1 x = 100 x 2 - 600 x + 450

Portanto, quando x = 2   m , o nosso cortante será:

V 1 x = 2 = 100 2 2 - 600 ( 2 ) + 450

V 1 x = 2 = - 3 50   N

Passo 4

Agora vamos fazer o mesmo para o outro trecho da viga, ou seja, vamos integrar a equação do carregamento:

V 2 x = - ∫ ( - 200 x + 600 )   d x

V 2 x = 100 x 2 - 600 x + C 2

Mas repare que a constante de integração mudou para C 2 . Mas por que fizemos isso?

Porque no ponto B vai ter uma descontinuidade do cortante já que existe a reação R B neste ponto:

Não esqueça que o cortante é negativo, por isso está apontando para baixo!

Então, nesse novo trecho da viga quando x = 2   m vamos ter que o cortante resultante será:

V 2 ( x = 2 ) = - 3 50 + 450 = 100   N

Vamos substituir isso na nossa equação:

V 2 x = 2 = 100 2 2 - 600 2 + C 2 = 100

C 2 = 900

Então, a equação do cortante para o segundo trecho da viga que vai de x = 2   m até x = 3   m é:

V x = 100 x 2 - 600 x + 900

Passo 5

Nosso próximo passo é achar a equação para o momento fletor!

Para isso temos que integrar cada equação do cortante que achamos:

M x = ∫ V   d x

Então, para o primeiro trecho da viga vamos ter que:

M 1 x = ∫ 100 x 2 - 600 x + 450   d x

M 1 x = 100 3 x 3 - 300 x 2 + 450 x + C 3

Sabemos que na extremidade A , o momento fletor deve ser zero, então:

M 1 x = 0 = 100 ( 0 ) 3 - 600 0 2 + 450 0 + C 3 = 0

C 3 = 0

Então, a nossa equação fica:

M 1 x = 100 3 x 3 - 300 x 2 + 450 x

Passo 6

E para o segundo trecho da viga vamos integrar a nossa outra equação do cortante:

M 2 x = ∫ 100 x 2 - 600 x + 900   d x

M 2 x = 100 3 x 3 - 300 x 2 + 900 x + C 4

Agora sabemos que quando x = 3   m , o momento fletor será zero:

M 2 x = 3 = 100 3 ( 3 ) 3 - 300 3 2 + 900 3 + C 4 = 0

C 4 = - 900

Então, a nossa equação fica:

M 2 x = 100 3 x 3 - 300 x 2 + 900 x - 900

Passo 7

Para saber onde ocorre o momento máximo é só derivarmos a equação do momento e igualar a zero:

d M d x = 0

Mas qual das duas equações de momento que achamos?

Repare que na primeira região da viga é que teremos o maior momento, pois tem o maior valor de carregamento, então vamos derivar a primeira equação:

d M 1 d x = 0       →         100 x 2 - 6 00 x + 450 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau vamos obter duas raízes:

x = 5,12   m

x = 0,879   m

Como o primeiro resultado é maior que o comprimento da viga, devemos descartá-lo!

Então, o momento máximo ocorre quando x = 0,879   m

E qual será o seu valor? É só substituirmos esse valor de x na nossa equação do momento M 1 :

M 1 x = 0,879 = M m á x = 100 3 ( 0,879 ) 3 - 300 0,879 2 + 450 ( 0,879 )

M m á x = 186,4   N m

Resposta

M m á x = 186,4   N m

x = 0,879   m

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