Exercícios Resolvidos de Vigas – Efeitos Internos

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 214, 5/130

Desenhe os diagramas de cortante e de momento para a viga em balanço carregada, para a qual o momento M 1 é ajustado de modo a produzir um momento nulo na extremidade engastada da viga. Determine o momento fletor M   em x = 2 .

Passo 1

Vamos primeiro calcular a força resultante do carregamento distribuído:

F r = 2 4     →         F r = 8   k N

Então, temos o seguinte diagrama de corpo livre:

Repare que a força resultante fica localizada na metade do comprimento do carregamento distribuído, ou seja, a 2   m do engaste!

Vamos primeiro calcular a reação na parte engastada:

∑ F = 0     →       R A - 8 = 0

R A = 8   k N

E quanto vale o momento M 1 ? Vamos fazer o somatório de momentos com relação ao engaste considerando o momento girando no sentido anti-horário como positivo:

M 1 - 8 2 = 0       →       M 1 = 16   k N m

Repare que não colocamos momento como reação no engaste, pois o enunciado disse que o momento deve ser nulo!!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos achar o cortante V . Para isso vamos fazer uma seção em x = 4   m :

Para achar o cortante nesta seç��o, vamos fazer o somatório de forças verticais:

∑ F = 0     →       R A - 8 - V = 0

8 - 8 - V = 0       →         V = 0

Ou seja, na parte que cortamos a viga o cortante é zero. Mas tem o cortante na parte inicial da viga devido à reação de apoio R A . Vamos analisar seu sinal:

Repare que o cortante é positivo, pois R A aponta no mesmo sentido do cortante positivo.

E o momento fletor M ? Vamos usar o somatório de momentos com relação ao ponto A :

∑ M A = 0       →           M - V 4 - F r 2 = 0

M - 0 4 - 8 2 = 0         →           M = 16   k N m

Vamos analisar seu sinal:

Repare que o momento fletor é positivo!

Passo 3

Agora vamos analisar o que acontece no final da viga:

Para calcular o cortante V é só fazermos o equilíbrio de forças:

∑ F = 0     →       R A - 8 - V = 0

8 - 8 - V = 0       →         V = 0

Ou seja, o cortante continua sendo zero até o final da viga.

Como há um momento concentrado no final da viga, sabemos que vai ter uma descontinuidade do momento fletor. Então vamos analisar qual é o momento fletor um infinitésimo antes do momento M 1 :

Vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A :

∑ M A = 0       →           M - V 4 - F r 2 = 0

M - 0 4 - 8 2 = 0         →           M = 16   k N m

E o seu sinal será positivo, pois:

Agora vamos fazer uma seção um infinitésimo depois de do momento M 1 de modo a incluí-lo:

Esse momento fletor pode ser calculado pelo somatório de momentos com relação ao ponto A de novo:

∑ M A = 0       →           M - V 8 - F r 2 + M 1 = 0

M - 0 4 - 8 2 + 16 = 0         →           M = 0  

Ou seja, o momento fletor agora é zero!!!

Passo 4

Agora só falta uma coisinha... Lembra que o cortante é obtido integrando a equação do carregamento que estiver na viga e o momento fletor é obtido integrando a equação do cortante?

Como o carregamento é uma reta constante, o cortante vai ser uma reta que varia linearmente e o momento fletor vai ser uma parábola do segundo grau!

Sabemos que o cortante fica assim:

Vamos achar a equação desta reta. Sabemos que ela terá a seguinte forma:

V = a x + b

Podemos calcular a através da tangente do ângulo de inclinação da reta:

a = 8 4 = 2

Mas repare que a reta está decrescendo, ou seja, o nosso a será negativo:

a = - 2

Quando x = 0 temos que V = 8 , então:

V = a x + b       →         8 = - 2 ( 0 ) + b

b = 8

Ou seja, a equação do cortante é:

V = - 2 x + 8

Agora para achar a equação do momento fletor temos que integrar esta equação ao longo do comprimento da viga:

d M d x = V     →     M = ∫ V d x

M = ∫ 0 x - 2 x + 8 d x       →         M = - x 2 + 8 x

Agora sim podemos desenhar o diagrama do momento fletor:

Passo 5

Quando x = 2 é só substituirmos o valor de x nas equações de cortante e momento fletor que acabamos de achar:

V = - 2 x + 8       →           V = - 2 2 + 8

V = 4   k N

E o momento fletor fica:

  M = - x 2 + 8 x       →       M = - 2 2 + 8 2

M = 12   k N m

Resposta

V e r   d i a g r a m a s   a c i m a

V = 4   k N

M = 12   k N m

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