Exercícios Resolvidos de Vigas – Efeitos Internos

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 213, 5/117

Determine as distribuições da força cortante e do momento fletor produzidos na viga pela carga concentrada. Quais são os valores do cortante e do momento em x = l / 2 ?

Passo 1

Vamos calcular primeiro as reações de apoio no ponto A :

Pelo equilíbrio de forças verticais, temos que:

∑ F y = 0       →       R A - P = 0

R A = P

Agora vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A e considerar o momento positivo girando no sentido anti-horário:

∑ M A = 0       →           M A - P 2 l 3 = 0

M A = 2 P l 3

Pronto, agora já sabemos as reações de apoio.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora calcular o cortante e o momento fletor. Para isso, vamos analisar o que acontece quando fazemos um corte na viga um pouco infinitésimo antes de onde está a carga P :

Repare que cortamos a viga em x = 2 l 3 , mas sem pegar a carga P !!!

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - V = 0

V = R A = P

No ponto A da viga temos um cortante que é devido à reação de apoio. Vamos analisar o sinal dos cortantes que temos:

Repare que eles são positivos, pois as setas estão no mesmo sentido do cortante que estabelecemos como positivo.

Agora vamos ver o momento fletor...

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em x = 2 l 3 :

∑ M x = 2 l 3 = 0       →           M A - R A 2 l 3 - M = 0

2 P l 3 - P 2 l 3 - M = 0       →         M = 0

Então, o momento fletor na seção que cortamos a viga é zero.

Mas no início da viga, ou seja, no ponto A existe um momento fletor que é a nossa reação de apoio devido ao engaste. Vamos analisar o seu sinal:

Repare que o nosso momento gira no sentido contrário do momento fletor que estabelecemos como positivo, então ele é negativo:

M A = - 2 P l 3

Passo 3

Agora vamos cortar a viga um infinitésimo depois do ponto onde está a carga P :

Repare que cortamos a viga em x = 2 l 3 , mas incluindo a carga P !!!

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - P - V = 0

P - P - V = 0       →           V = 0

Ou seja, o cortante é zero um infinitésimo depois da carga P . Isso ocorre porque toda vez que tivermos uma carga concentrada teremos descontinuidade do cortante.

O momento fletor nesta seção vai ser zero também, como já fizemos antes.

Passo 4

Agora vamos fazer analisar o que teremos no final da viga:

Aqui cortamos a viga em x = l .

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - P - V = 0

P - P - V = 0       →           V = 0

Ou seja, o cortante continua sendo zero nesta parte da viga!

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em x = l

∑ M x = l = 0       →           M A - R A l + P l 3 - M = 0

2 P l 3 - P l + P l 3 - M = 0       →         2 P l 3 - 2 P l 3 - M = 0

  M = 0

Então, o momento fletor no final da viga também é zero.

Passo 5

Agora temos que montar os nossos diagramas. O diagrama de cortante fica assim:

Repare que no ponto onde a carga concentrada está existe uma descontinuidade do cortante!

E o diagrama de momento fletor fica assim:

É só marcarmos os valores que achamos em cada seção que fizemos na viga e ligar os valores.

Passo 6

Agora precisamos saber quanto vale o cortante e o momento fletor em x = l / 2 .

Observando nosso diagrama, em x = l / 2 vamos ter que:

Ou seja, o cortante é:

V = P

Para saber o momento fletor vamos fazer um corte na viga em x = l / 2 :

Agora é só fazermos o somatório de momentos com relação à x = l / 2 :

∑ M x = l 2 = 0       →           M A - R A l 2 - M = 0

2 P l 3 - P l 2 - M = 0       →         M = P l 6

Agora vamos analisar o seu sinal:

Como o momento fletor que achamos gira no sentido contrário ao que consideramos como positivo, então ele é negativo:

M = - P l 6

Resposta

V = P

M = - P l 6

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