Exercícios Resolvidos de Análise por Semelhança

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Enunciado

(Adaptada) Um avião, de comprimento total de 16,8 m, é projetado para voar a 680 m/s a uma altitude padrão de 8.000 m. Um modelo na escala 1:30 deve ser testado em um túnel de vento com hélio pressurizado a 20°C. Qual é a pressão adequada do túnel em atm?

Dica: para similaridade em escoamentos supersônicos, usamos os números adimensionais Reynolds e Mach.

Passo 1

Vamos aprender a usar um novo número adimensional nesse exercício: o número de Mach

Mas antes de usá-lo vamos identificar as variáveis no modelo e no protótipo

Protótipo (avião):

L p = 16,8   m

V p = 680   m / s

- o protótipo está submetido ao ar a 8000 m de altitude, com isso

ρ p = 0,525   k g / m ³

μ p = 1,53 × 10 - 5 P a . s

a p = 308   m / s (velocidade do som)

Modelo:

L m / L p = 1 / 3 0

- o modelo está submetido ao hélio a 20°C

μ m = 1,97 × 10 - 5 P a . s

a m = 1005   m / s (velocidade do som)

Não conhecemos a velocidade do modelo, nem a massa específica e queremos saber a pressão. Então, a estratégia é encontrar a velocidade pelo número de Mach, a velocidade por Reynolds e assim encontrar a pressão pela equação dos gases (pV=nRT) 😉

Mas calma, porque vamos passo a passo!

Passo 2

O número de Mach, conforme vimos na tabela de número adimensionais da teoria, é

M a =   V a = v e l o c i d a d e   d o   e s c o a m e n t o v e l o c i d a d e   d o   s o m

Considerando a similaridade de escoamento supersônico e seguindo a dica do enunciado, vamos igualar o Mach do modelo e do protótipo

M a m = M a p

V m a m = V p a p

Substituindo os valores que conhecemos

V m 1005 = 680 308

V m ≅ 2218,8   m / s

Encontramos então a velocidade do modelo. Super alta! Vamos usá-la em Reynolds!

Passo 3

Também por similaridade podemos igualar o número de Reynolds do protótipo e do modelo. Assim, vamos descobrir a massa específica do Hélio nas condições do escoamento

Lembrando de Reynolds:

R e =   ρ V L μ

Igualando

R e m = R e p

ρ m V m L m μ m = ρ p V p L p μ p

Substituindo

ρ m × 2218,8 × L m 1,97 × 10 - 5 = 0,525 × 680 × L p 1,53 × 10 - 5

Reorganizando

ρ m L m L p = 0,525 × 680 × 1,97 × 10 - 5 2218,8 × 1,53 × 10 - 5

ρ m 1 30 = 0,525 × 680 × 1,97 2218,8 × 1,53

Com isso, encontramos que a massa específica do hélio nessas condições é

ρ m ≅ 6,21   k g / m ³

Passo 4

Agora que sabemos a massa específica do hélio, é hora de encontrar o que foi pedido no enunciado: a pressão. Para isso, vamos considerar a equação dos gases

p V = n R T

Isolando a pressão

p = n V R T

Sabendo que o número de mols é a massa sobre massa molar

n   =   m / M M

p = m V R T M M

Assim, relacionamos pressão e massa específica!

p m = ρ m R T m M M

Usando a constante do gás Hélio R a 20°C (293 K)

p m = 6,21 × 2077 × 293

p m = 3,77   M P a

E assim encontramos a pressão do Hélio nas condições do modelo!

Resposta

p m = 3,77   M P a

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