Exercícios Resolvidos de Análise por Semelhança

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Enunciado

O protótipo de uma embarcação de 35 m é projetado para uma velocidade de cruzeiro de 11 m/s (em torno de 21kn). Seu arrasto deve ser simulado em um modelo de 1 m de comprimento, em um tanque de reboque. Para a escala de Froude, encontrar (a) a velocidade de reboque, (b) a razão entre os arrastos do protótipo e do modelo (c) a razão entre as potências do protótipo e do modelo.

Passo 1

Opa! :D Temos aqui um modelo para fazer um protótipo de embarcação.

Para passar de um para o outro e descobrir velocidade, força e potência, vamos considerar que eles são similares dinamicamente, certo? o/

Considerando essa semelhança dinâmica, podemos usar a escala de Froude dita no enunciado. Ou seja: vamos igualar o número de Froude do protótipo e do modelo para encontrar a velocidade!

Lembrando que o número de Froude é essa carinha aqui:

F r =   V 2 g L

Ou, podemos escrever também:

F r =   V g L

E o número de Froude do modelo é igual ao do protótipo:

F r m = F r p

V m g L m = V p g L p

Reorganizando isso aí e simplificando a gravidade:

V m V p = L m L p

Sabemos do enunciado que a razão entre os comprimentos L é:

L m L p = 1 35

Então:

V m V p = L m L p = 1 35

Já que o protótipo é projetado para velocidade 11 m/s, a velocidade do modelo é:

V m = 11 1 35 = 1,86   m / s

Passo 2

Para encontrar a razão entre as forças de arrasto do protótipo e do modelo, vamos usar o número adimensional coeficiente de arrasto C D .

Lembrando que consideramos no Passo 1 semelhança dinâmica. É por isso que podemos igualar o C D também, assim como fizemos com Froude.

C D = F D 1 2 ρ V 2 A

Igualando:

F D m 1 2 ρ V m 2 A m = F D p 1 2 ρ V p 2 A p

Reorganizando a equação para colocar a razão que queremos encontrar do lado esquerdo, vamos ter:

F D m F D p = 1 2 ρ V m 2 A m 1 2 ρ V p 2 A p

Como nos dois casos é o mesmo fluido (mesma massa específica), podemos simplificar assim:

F D m F D p = V m 2 A m V p 2 A p = V m V p 2 A m A p

No Passo 1, descobrimos a razão entre as velocidades

F D m F D p = 1 35 2 A m A p

Para encontrar a relação entre as áreas (área projetada na direção do escomento), vamos considerar uma embarcação com essa área quadrada, já que só temos a informação de comprimento da geometria.

F D m F D p = 1 35 L m L p 2

A relação entre os comprimentos é 1:35. Logo,

F D m F D p = 1 35 1 35 2

F D m F D p = 1 428 7 5

Então, a razão entre os arrastos do modelo e do protótipo é 1:42875

Passo 3

Finalmente, vamos achar a razão entre as potências. Lembrando que a potência pode ser definida como força vezes a velocidade

P = F V

Repara que a potência não é um número adimensional. Vamos achar a razão entre elas, substituindo os valores de força e velocidade que encontramos entre os passos.

P m = F m V m

P p = F p V p

Então a razão é

P m P p = F m V m F p V p = F m F p V m V p

Dos passos 1 e 2, encontramos as razões entre as velocidades e forças

P m P p = 1 428 7 5 1 35

Logo, a razão entre as potências é

P m P p ≈ 1 253 652

Resposta

V m = 1,86   m / s

F D m F D p = 1 428 7 5

P m P p ≈ 1 253 652

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