Exercícios Resolvidos de Análise por Semelhança

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Enunciado

Com uma boa aproximação, a condutividade térmica k de um gás depende apenas da massa específica ρ , do livre caminho médio l , da constante R do gás e da temperatura absoluta T . Para o ar a 20 ℃ e 1   a t m , k   ≈ 0,026   W / ( m . K ) e l   ≈   6,5 E-8 m. Use essas informações para determinar o valor de k para o hidrogênio a 20 ℃ e 1   a t m se l   ≈ 1,2 E-7 m.

ρ a r   =   1,205   k g / m ³

R a r   =   287   m ² / s ² ⋅ K

ρ h i d r o g ê n i o   =   0,0839   k g / m ³

R h i d r o g ê n i o   =   4124   m ² / s ² ⋅ K

Passo 1

Esse problema envolve encontrar o grupo pi e também aplicar a análise por semelhança! Então, vamos lá encontrar o grupo pi!

Nosso problema pode ser escrito como:

k = f ρ , l , R , T

De dimensões:

k = M L T - 3 Θ - 1

ρ = M L - 3

l = L

R = L 2 T - 2 Θ - 1

T = Θ

Temos cinco variáveis e quatro dimensões, logo temos pelo menos um grupo pi:

Isso não nos dá escolha a não ser ρ , l , R , T como variáveis repetitivas.

Passo 2

Montamos nosso adimensional:

ρ a l b R c T d k = M 0 L 0 T 0

M L - 3 a L b L 2 T - 2 Θ - 1 c Θ d M L T - 3 Θ - 1 = M 0 L 0 T 0

M a + 1 L - 3 a + b + 2 c + 1 T - 2 c - 3 Θ - c + d - 1 = M 0 L 0 T 0

Logo nosso sistema fica:

a + 1 = 0 - 3 a + b + 2 c + 1 = 0 - 2 c - 3 = 0 - c + d - 1 = 0

Da equação 3:

c = - 3 2

Substituindo em 4:

3 2 + d - 1 = 0

d = - 1 2

Da equação 1:

a = - 1

Substituindo a e c na segunda equação:

3 + b - 3 + 1 = 0

b = - 1

Logo nosso pi é:

Π = k ρ l R 3 T

Passo 3

Agora, vamos considerar semelhança dinâmica entre as duas situações.

Para a situação 1, substituímos os valores do ar na expressão que encontramos, sem esquecer de converter a temperatura para de Celsius para Kelvin:

Π = 0,026 1,205 6,5 × 10 - 8 287 3 20 + 273

Π = 3,99

Igualando o número adimensional na situação com ar e a situação do hidrogênio, temos que:

k h i d r o g ê n i o = Π ρ l R 3 T

k h i d r o g ê n i o = 3,99 × 0,0839 × 1,2 × 10 - 7 4124 ³ × 20 + 273

k h i d r o g ê n i o = 0,182   W / ( m . K )

Resposta

Π = k ρ l R 3 T

k h i d r o g ê n i o = 0,182   W / ( m . K )

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