Exercícios Resolvidos de Análise por Semelhança

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Enunciado

Um novo tipo de automóvel começa a ser projeto, com uma análise inicial em modelo reduzido (m) na escala geométrica 1:3 em relação ao protótipo (p), submetido a ensaios em túnel de vento, com variação da velocidade V m e da resultante Fm das forças causadas pelo escoamento sobre o automóvel.

Os resultados destes ensaios em modelos estão na tabela abaixo

Considerando que as grandezas que interferem no fenômeno são ρ (massa específica do fluido), ν (viscosidade cinemática do fluido), L (dimensão frontal do automóvel), V (velocidade) e F (força de resistência do ar ao deslocamento do automóvel), pede-se para determinar:

3.1. A matriz dimensional na base M, L, T e deduzir as grandezas adimensionais que representam o fenômeno utilizando a base ρ ,   V ,   L

Passo 1

Vamos seguir o que o enunciado nos pede, primeiro vamos fazer a matriz dimensional na base MLT, beleza?

Ou seja, as variáveis que o problema deu como variáveis que influenciam na física do problema, devem ser estudadas e colocadas nas dimensões básicas de M (massa), L(comprimento) e T(tempo).

Passo 2

O próximo passo é descobrirmos esses números adimensionais utilizando como base ρ ,   V e L

Como a gente faz isso? Basicamente a gente tem que fazer isso aqui ó:

ν = π 1 ρ a V b L c

F = π 2 ρ d V e L f

Basicamente o que fazemos é: pegamos as variáveis que não fazem parte da base escolhida pelo enunciado e igualamos ela a números ADIMENSIONAIS π 1 e π 2 e colocamos as outras variáveis elevadas a incógnitas. A partir disso, a gente quer descobrir quem é π 1 e π 2 , os quais podem ser descobertos, pois sabemos que a soma das dimensões MLT do lado esquerdo tem que ser iguais do lado direito. Por exemplo, vamos analisar a primeira igualdade:

ν = π 1 ρ a V b L c

Vamos agora abrir as variáveis em função das dimensões base:

L 2 T - 1 = π 1   M L - 3 a L T - 1 b L c

Agora vamos montar um sistema linear onde olhamos para cada dimensão base e depois resolvemos o problema. Basicamente é igualar os expoentes para cada dimensão!!

M : 0 = a

L : 2 = - 3 a + b + c

T :   - 1 = - b

Opa, sabemos que a = 0 e b = 1 , logo substituindo na equação e L, temos:

2 = - 3 0 + 1 + c

c = 1

Agora a gente pega esses valores das variáveis e substitui aqui ó:

ν = π 1 ρ a V b L c

v = π 1 V L

π 1 = ν V L

Passo 3

Fazendo o mesmo para o segundo grupo adimensional:

F = π 2 ρ d V e L f

M L T - 2 = π 1   M L - 3 d L T - 1 e L f

M : 1 = d

L : 1 = - 3 d + e + f

T :   - 2 = - e

Opa, temos que d = 1 e e = 2 , logo substituindo na equação de L temos como encontrar o valor de f!!

1 = - 3 1 + 2 + f

f = 2

Logo, temos que:

F = π 2 ρ V 2 L 2

π 2 = F ρ V 2 L 2

Resposta

π 1 = v V L

π 2 = F ρ V 2 L 2

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