Exercícios Resolvidos de Análise por Semelhança

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Enunciado

Quando testada em água a 20°C escoando a 2 m/s, uma esfera de 8 cm de diâmetro apresenta um arrasto de 5 N. Qual será a velocidade e a força de arrasto sobre um balão meteorológico de 1,5 m de diâmetro atracado no ar nas condições padrão ao nível do mar sob condições dinamicamente semelhantes?

Passo 1

Primeiro passo que vamos fazer é organizar o que foi dado e o que foi pedido. Vamos lá? É importante notar que entre modelo e protótipo temos fluidos diferentes nesse exercício!

Água a 20°C (fluido usado no teste – modelo) :

ρ m ≅ 1000   k g / m 3

μ m ≅ 0,001   P a . s  

Ar a nível do mar (fluido usado no balão – protótipo) :

ρ p ≅ 1 , 2255   k g / m 3

μ p ≅ 1 , 78 . 10 - 5   P a . s  

Velocidade de teste (modelo) do fluido

V m   =   2   m / s

Diâmetro da esfera de teste (modelo)

D m   =   8   c m   =   0,08   m

Diâmetro do balão (protótipo)

D p   =   1,5   m

Força de arrasto no caso teste (modelo)

F D m   =   5   N

Com todos esse valores, precisamos calcular velocidade e força de arrasto no protótipo. Como há semelhança dinâmica, podemos igualar números adimensionais.

Passo 2

Pela similaridade dinâmica (e consequentemente cinemática) o regime de escoamento é o mesmo. Um número adimensional que diz respeito ao tipo de escoamento e que envolve velocidades e demais variáveis que já conhecemos é o número de Reynolds

R e =   ρ V D μ

Igualando

R e m = R e p

ρ m V m D m μ m =   ρ p V p D p μ p

Substituindo o que já sabemos do enunciado

1000 × 2 × 0,08 0,001 =   1,2255 × V p × 1,5 1,78 . 10 - 5

Então, a velocidade do ar no balão (protótipo) é

V p ≅ 1,55   m / s

Opa! Encontramos a primeira pergunta do exercício

Passo 3

Para responder a segunda pergunta (Qual a força de arrasto no protótipo?) precisamos de um número adimensional que a englobe, certo?

Esse número é o coeficiente de arrasto.

C D = F D 1 2 ρ V 2 A

Sendo V a velocidade do fluido e A a área projetada na direção do escoamento

A área projetada de uma esfera é π R 2 ou π d 2 / 4 . Então, para o modelo, temos a seguinte área

A m = π d m 2 4

Por sua vez, a área projetada do balão também é um círculo. Logo, para o protótipo,

A p = π d p 2 4

Pela semelhança dinâmica, igualamos o coeficiente de arrasto no modelo e no protótipo

C D m = C D p

F D m 1 2 ρ m V m 2 A m = F D p 1 2 ρ p V p 2 A p

F D m ρ m V m 2 = F D p ρ p V p 2 A p

Substituindo os valores que conhecemos até agora

5 1000 × 2 2 × π d m 2 4 = F D p 1,2255 × 1,55 2 × π d p 2 4

Simplificando

5 1000 × 2 2 × d m 2 = F D p 1,2255 × 1,55 2 × d p 2

Substituindo os diâmetros

5 1000 × 2 2 × 0,08 2 = F D p 1,2255 × 1,55 2 × 1,5 2

Fazendo as contas

F D p ≈ 1,3   N

E assim, encontramos a força de arrasto no balão 😉

Resposta

V p ≅ 1,55   m / s

F D p ≈ 1,3   N

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