Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Em R 3 , considere o produto interno usual. Seja α a base canônica de R 3 e T : R 3 → R 3 o operador linear dado por

T α α = 1 2 0 2 2 0 1 0 3 2 0 1 2 .

Determine se o operador T é ortogonal.

Passo 1

Repare que a primeira e segunda colunas da matriz T α α não são ortogonais! Logo, as colunas da matriz nunca formariam um conjunto ortonormal que é a condição para que ela seja ortogonal.

Sendo assim, o operador T não é ortogonal.

Resposta

Não é ortogonal.

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6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3