Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Dadas as afirmativas:

I – Dados u → = ( 4 ,   - 2 ,   1 ) , v → = ( 3 ,   5 ,   - 2 ) e w → = u → ∧ v → , o conjunto { u → ,   v → ,   w → } forma uma base ortogonal.

II – A matriz 0 1 0 1 0 1 1 0 - 1 é dita ortogonal.

III – Para transformar a base β = 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   - 2 ,   1 em ortonormal, basta dividir seus vetores, respectivamente, por 3 , 2 e 6 .

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I

b) II

c) III

d) I e II

e) I e III

f) II e III

g) I, II e III

Passo 1

Analisando cada uma das afirmativas:

I – Verdadeira. Primeiro vamos calcular o produto interno entre u → e v → :

u → . v → = 12 - 10 - 2

u → . v → = 0

Opa, então eles são ortogonais. Ok, mas e o w → ??

O w → é o produto vetorial entre u → e v → , então, pela regra da mão direita, ele com certeza vai ser ortogonal aos dois.

Então os 3 vetores são ortogonais entre si :)

II – Falsa. Vimos que uma matriz só é ortogonal se as suas linhas e colunas formarem um conjunto ortonormal, o que não é o caso. Veja que se pegarmos a primeira coluna, temos ( 0 ,   1 ,   1 ) , cuja norma é 2 , o mesmo acontece para a última coluna e a segunda e terceira linha.

III – Verdadeira. Para normalizar uma base que já é ortogonal, basta dividirmos cada vetor por sua norma. No caso, os vetores dessa base possuem normas de 3 , 2 e 6 , respectivamente.

Então a alternativa correta é a letra E :)

Resposta

e) I e III

Exercícios de Livros Relacionados

6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3