Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Dada a base β = 3,4 , 2,2 , ortonormal em relação a um certo produto interno, dê a fórmula desse produto interno.

DICA: Escreva ( x , y ) como combinação linear dos vetores da base β

Passo 1

Vamos usar a dica do enunciado?

A coisa é escrever um vetor x ,   y γ como combinação linear dos vetores de β , assim ó:

x , y = a 3,4 + b 2,2

Isso nos dá o sistema:

x = 3 a + 2 b y = 4 a + 2 b   ( I )

Multiplicando a segunda equação por ( - 1 ) e somando as duas equações, temos:

x - y = 3 a - 4 a + 2 b - 2 b

x - y = - a

a = - x + y   ( I I )

Agora, substituindo ( I I ) na equação de cima:

x = - 3 x + 3 y + 2 b

2 b = 4 x - 3 y

b = 2 x - 3 2 y   ( I I I )

Belezinha, escrevemos a e b em função de x e y certo?

Isso quer dizer que temos os vetores de β escritos na base γ , vamos ver como podemos usar isso ;)

Passo 2

Como temos os vetores de β escritos na base γ e estamos tratando de bases ortonormais, o produto interno de dois vetores ortogonais de β , é igual ao produto interno usual dos vetores com coordenadas na base γ .

Então, sendo x 1 , y 1 , x 2 , y 2 vetores da base β , o produto interno entre eles pode ser escrito como o produto interno usual deles escritos na base γ :

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 , y 1 γ , x 2 , y 2 γ u s u a l

Escrevendo os vetores na base γ :

  x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = - x 1 + y 1 , 2 x 1 - 3 2 y 1 , - x 2 + y 2 , 2 x 2 - 3 2 y 2 u s u a l

Calculando o produto interno usual:

                                                                          x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = ( - x 1 + y 1 ) ( - x 2 + y 2 ) + 2 x 1 - 3 2 y 1 2 x 2 - 3 2 y 2

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + y 1 y 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 1 y 2 - 3 x 2 y 1 + 9 4 y 1 y 2

Então, o produto interno que o enunciado pede é:

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = 5 x 1 x 2 - 4 x 1 y 2 - 4 x 2 y 1 + 13 4 y 1 y 2

Resposta

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = 5 x 1 x 2 - 4 x 1 y 2 - 4 x 2 y 1 + 13 4 y 1 y 2

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6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
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