Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Considere os vetores de R 3 cujas coordenadas na base canônica são

v 1 = 1 ,   2 ,   1 ,                       v 2 = 1 ,   - 1 ,   2 ,                           v 3 = ( 0 ,   3 ,   - 1 )

E o subespaço vetorial W de R 3 gerado por estes vetores.

c) Determine uma base β = w 1 , w 2 , w 3 de R 3 tal que os vetores da base sejam unitários e verifiquem as seguintes propriedades:

  • w 1 é paralelo a v 1
  • w 2 pertence ao plano gerado pelos vetores v 1 e v 2 e é perpendicular a w 1
  • w 3 é perpendicular aos vetores w 1 e w 2 .

Passo 1

c) Mano, repara um negócio: as 3 condições dadas pelo enunciado nos mostram que os vetores w 1 ,   w 2 , w 3 são perpendiculares :O Além disso, o enunciado também fala que todos eles devem ser unitários, ou seja, ter norma 1!!

O que vamos fazer aqui é encontrar uma base ϑ = e 1 ,   e 2 , e 3 que seja ortogonal, ou seja, que os 3 vetores sejam perpendiculares entre si. Tendo essa base ortogonal, vamos achar a norma de cada um dos 3 vetores e dividir cada um deles pela sua respectiva norma, e aí teremos normalizado nossa base e chegaremos em β = w 1 , w 2 , w 3 .

Então antes de começarmos: quando estivermos fazendo e 1 , e 2 , e 3 , é só pra estudarmos a direção e sentido dos vetores, aí depois que normalizarmos, podemos chamar de w 1 , w 2 , w 3 , que é a base que queremos ;)

Passo 2

Como w 1 é paralelo a v 1 , o primeiro vetor da nossa base ortogonal (mas não normalizada) vai ser e 1 = ( 1 ,   2 ,   1 ) .

A segunda condição diz, sobre a direção de w 2 , que ele deve pertencer ao plano que, como vimos no item anterior, tem vetor normal ( 5 ,   - 1 ,   - 3 ) . Se ele está contido nesse plano, ele é ortogonal a esse vetor normal concorda? Essa condição também diz que w 2 é perpendicular a w 1 .

Se w 2 é perpendicular a w 1 e a 5 ,   - 1 ,   - 3 , ele pode ser escrito como o produto vetorial:

e 2 = e 1 ∧ 5 ,   - 1 ,   - 3

e 2 = ( 1 ,   2 ,   1 ) ∧ 5 ,   - 1 ,   - 3

e 2 = ( - 5 ,   8 ,   - 11 )

Passo 3

Por último, temos que w 3 é perpendicular aos dois outros vetores. Então, podemos escrever e 3 como o produto vetorial:

e 3 = e 1 ∧ e 2

e 3 = ( 1 ,   2 ,   1 ) ∧ ( - 5 ,   8 ,   - 11 )

e 3 = - 30 ,   6 ,   18

Dividindo e 3 por 6 (teremos o mesmo vetor, só estamos mudando seu módulo ok?)

e 3 = - 5 ,   1 ,   3

Fechouzasso, agora temos uma base ortogonal ϑ = e 1 ,   e 2 , e 3 = 1 ,   2 ,   1 ,   - 5 ,   8 ,   - 11 ,   - 5 ,   1 ,   3 .

Agora é só normalizar essa base pra encontrarmos a base β que tanto queremos :P

Passo 4

Vamos encontrar a norma de cada vetor da base ϑ .

Usando a fórmula de norma de vetores:

e 1 = 1 2 + 2 2 + 1 ² = 6

e 2 = ( - 5 ) 2 + 8 2 + ( - 11 ) ² = 210

e 3 = ( - 5 ) 2 + 1 2 + 3 ² = 35

Passo 5

Agora é só dividirmos cada vetor de ϑ pela sua respectiva norma e aí teremos a base ortonormal, ou seja, com os 3 vetores sendo ortogonais entre si e tendo norma 1 ;)

β = w 1 , w 2 , w 3

β = e 1 e 1 , e 2 e 2 , e 3 e 3

Então, nossa querida base é:

β = ( 1 ,   2 ,   1 ) 6 , ( - 5 ,   8 ,   - 11 ) 210 , ( - 5 ,   1 ,   3 ) 35

Resposta

c) β = ( 1 ,   2 ,   1 ) 6 , ( - 5 ,   8 ,   - 11 ) 210 , ( - 5 ,   1 ,   3 ) 35

Exercícios de Livros Relacionados

6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3