Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Em um espaço com u → = ( a ,   b ,   c ) e v → = ( d ,   e ,   f ) , o produto interno é definido como u → ,   v → = a . f + b . e + c . d .

Nesse espaço, é dada a base

β = { 1 ,   1 ,   1 ,   a ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   b ,   1 }

Dê os valores de a e b para que a base β seja ortogonal.

Passo 1

Para que essa base seja ortogonal, o produto interno, dado no enunciado, entre os vetores dois a dois deve ser sempre 0.

Então, a gente vai calcular cada produto interno e igualar a 0 para acharmos os valores de a e b beleza?

Passo 2

Primeiro vamos calcular o produto interno entre 1 ,   1 ,   1 e a ,   0 ,   - 1 :

1 ,   1 ,   1 . a ,   0 ,   - 1 = 0

- 1 + 0 + a = 0

a = 1

Opa, já encontramos o valor de a :D

Agora vamos calcular o produto interno entre ( 1 ,   1 ,   1 ) e ( 1 ,   b ,   1 ) :

1 ,   1 ,   1 . 1 ,   b ,   1 = 0

1 + b + 1 = 0

b = - 2

Aí simmm, já encontramos b também!!

E aí, acabou?

Nananinanão, vamos calcular o produto interno entre a ,   0 ,   - 1 e ( 1 ,   b ,   1 ) com os valores encontrados para a e b e ver se de fato esses dois também são ortogonais:

a ,   0 ,   - 1 . 1 ,   b ,   1

1 ,   0 ,   - 1 . 1 ,   - 2 ,   1

1 + 0 - 1

0

Boaa, o produto interno deu 0 como esperado!!

Então, com a = 1 e b = - 2 temos que a base β é ortogonal no espaço dado :P

Resposta

a = 1

b = - 2

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