Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Seja ( F D → , F E → , F C → ) uma base ortogonal. Calcule o produto escalar entre A E → e B F → .

Passo 1

Então, galera, dá uma olhada pra figura. A gente já viu que ( F D → , F E → , F C → ) é uma base ortogonal. Seria bom se a gente tivesse uma base ortonormal pra poder representar os vetores que queremos nessa base! Então a idéia vai ser dividir cada um dos vetores da base ortogonal pelo módulo do vetor da base ortonormal! Vamos criar essa nova base i → ,   j → ,   k → ortonormal.

i → = 1 2 F D →

j → = F E →

k → = 1 3 F C →

Passo 2

Pronto, criada a nossa base, já podemos escrever os vetores A E → e B F → nessa base!

Vamos trabalhar em cima do vetor A E → primeiro.

A E → = A D → + D E →

A E → = A D → + D F → + F E →

Agora se liga na figura! Percebe que A D → = - F C → e que D F → = - F D → ? Então vamos substituir isso:

A E → = - F C → - F D → + F E →

A E → = - 3 k → - 2 i → + j →

A E → = - 2 i → + j → - 3 k →

A E → = - 2,1 , - 3

Vamos pro B F →   agora!

B F → = B C → + C F →

Como B C → = E F → :

B F → = E F → + C F →      

Viu que E F → = - F E → e C F → = - F C → ?

B F → = - F E → - F C →

B F → = - j → - 3 k →

B F → = 0 , - 1 , - 3

Passo 3

Falta só calcular o produto escalar! Essa parte é melzinho na chupeta.

A E → ⋅ B F → = - 2,1 , - 3 ⋅ 0 , - 1 , - 3

A E → ⋅ B F → = 8

Resposta

A E → ⋅ B F → = 8

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