Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Considere a base ortonormal α de R 3

α = 1 3 ,   1 3 ,   1 3 ,   1 6 ,   1 6 ,   - 2 6 ,   1 2 ,   - 1 2 ,   0

Os vetores estão escritos na canônica.

  1. Mostre que α é uma base ortonormal de R 3 .
  2. Considere o vetor v de R 3 cujas coordenadas na base canônica são 2 ,   4 ,   1 . Determine a segunda coordenada do vetor na base α .
  3. Determine explicitamente a matriz P de mudança de base da base canônica à base α .
  4. Determine explicitamente a matriz Q de mudança de base da base α à base canônica.

Passo 1

Show de bolinhas galera, pra uma base ser orotonormal, os vetores presentes na base devem ser todos ortogonais entre si, isto é, o produto interno entre eles deve ser igual a 0 . E além disso, a norma desses vetores deve ser igual a 1 . Belezoca, sabendo disso, a gente pode testar primeiro a ortogonalidade entre os vetores. Para os dois primeiros, temos:

1 3 ,   1 3 ,   1 3 . 1 2 ,   - 1 2 ,   0 = 1 3 1 2 + 1 3 - 1 2

1 3 ,   1 3 ,   1 3 . 1 2 ,   - 1 2 ,   0 = 0

Show de bola, então os dois primeiros vetores são ortogonais, bora testar as outras combinações agora:

1 3 ,   1 3 ,   1 3 .   1 6 ,   1 6 ,   - 2 6 = 1 3 1 6 + 1 3 1 6 + 1 3 - 2 2

1 3 ,   1 3 ,   1 3 .   1 6 ,   1 6 ,   - 2 6 = 0

E por fim, para os dois últimos, temos:

1 2 ,   - 1 2 ,   0 .   1 6 ,   1 6 ,   - 2 6 = 1 2 1 6 + - 1 2 1 6

1 2 ,   - 1 2 ,   0 .   1 6 ,   1 6 ,   - 2 6 = 0

Portanto, todos eles são ortogonais entre si. Agora falta a gente ver se a norma deles é igual a 1 . Saca só, para norma ser igual a 1 , o produto interno precisa também ser igual a 1 , então fazendo o produto dos vetores com eles mesmos, temos:

1 2 ,   - 1 2 ,   0 .   1 2 ,   - 1 2 ,   0 = 1 2 2 + - 1 2 2

1 2 ,   - 1 2 ,   0 .   1 2 ,   - 1 2 ,   0 = 1 2 + 1 2 = 1

Irado, fazendo com o próximo também, obtemos:

  1 6 ,   1 6 ,   - 2 6 .   1 6 ,   1 6 ,   - 2 6 = 1 6 2 + 1 6 2 + - 2 6 2

  1 6 ,   1 6 ,   - 2 6 .   1 6 ,   1 6 ,   - 2 6 = 1 6 2 + 1 6 2 + - 2 6 2 = 1 6 + 1 6 + 4 6 = 1

E por fim, com o primeiro vetor, temos:

1 3 ,   1 3 ,   1 3 .   1 3 ,   1 3 ,   1 3 = 1 3 2 + 1 3 2 + 1 3 2

1 3 ,   1 3 ,   1 3 .   1 3 ,   1 3 ,   1 3 = 1 3 + 1 3 + 1 3 = 1

Logo, todos os vetores da base são ortogonais e possuem norma igual 1 . Portanto nossa base é ortonormal!

Passo 2

Belezera pessoal, na letra (b) queremos encontrar a segunda coordenada do vetor:

v = 2 ,   4 ,   1

Na base α dada por:

α = v 1 = 1 3 ,   1 3 ,   1 3 ,   v 2 = 1 6 ,   1 6 ,   - 2 6 , v 3 = 1 2 ,   - 1 2 ,   0  

Logo, se vamos escrever o vetor u nessa base, verificamos que:

u = a v 1 + b v 2 + c v 3

Onde o vetor v na base α é dado por:

v α = a ,   b ,   c

Portanto, a segunda coordenada de v α é b , só que essa constante multiplica apenas o segundo vetor da base v 2 , e o mais legal de tudo é que todos os outros vetores são ortonormais a ele. Então a gente pode usar de toda malandragem do mundo para isolar essa constante b , vamos aplicar o produto interno por v 2 dos dois lados da igualdade, desse jeito:

v = a v 1 + b v 2 + c v 3

v . v 2 = a v 1 + b v 2 + c v 3 . v 2

Distribuindo esse produto interno, temos:

v . v 2 = a v 1 . v 2 + b v 2 . v 2 + c v 3 . v 2

E como os vetores são ortonormais, o produto interno entre vetores distinto é igual a 0 , enquanto o produto interno com o próprio vetor é igual a 1 , tal que:

v . v 1 = a v 1 . v 2 ⏝ 0 + b v 2 . v 2 ⏝ 1 + c v 3 . v 2 ⏝ 0

v . v 2 = b

Isso quer dizer que nossa segunda coordenada b é dada pelo produto interno entre v e v 2 :

b = v . v 2

b = 2 ,   4 ,   1 . 1 6 ,   1 6 ,   - 2 6

b = 2 6 + 4 6 - 2 6

b = 4 6

Passo 3

Belezoca meus amores, agora na letra (b) queremos encontrar a matriz P de mudança de base da base canônica à base α . Logo, queremos encontrar a matriz que:

v α = I d α ← ε v ε

Onde a matriz mudança de base I d α ← ε é a nossa matriz P tal que:

v α = P v ε

Onde P pega um vetor na base canônica e leva pra base α . Só que a sagacidade aqui é que estamos partindo da base canônica, onde não existem alterações na forma do vetor, isso quer dizer que a matriz I d α ← ε = P pode ser escrita apenas com os vetores da base α nas colunas, desse jeito:

P = 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 - 1 2 1 3 - 2 6 0

Passo 4

Iradoso galera, a matriz P pega um vetor na base canônica e leva pra base α MAAASS a matriz Q faz exatamente o contrário, tal que:

Q = P - 1

E o bizu matador aqui é que a regrinha para inverter matrizes ortogonais diz ora gente que a inversa de uma matriz ortogonal é igual a sua transposta:

P - 1 = P T

Logo:

Q = P T

Q = 1 3 1 3 1 3 1 6 1 6 - 2 6 1 2 - 1 2 0

Resposta

  1. Demonstração.
  2. b = 4 6
  3. P = 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 - 1 2 1 3 - 2 6 0
  4. Q = 1 3 1 3 1 3 1 6 1 6 - 2 6 1 2 - 1 2 0

Exercícios de Livros Relacionados

6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3