Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Seja W um subespaço de R ³ formado pelos vetores ( x , y , z ) tais que x + y = 0

b) Determine uma base ortonormal para W ⊥

Passo 1

E aííí gente, vamos pra mais uma de álgebrazinha :P

Antes de qualquer coisa:

Temos um subespaço formado por vetores ( x , y , z ) , mas esses vetores cumprem com a condição de que

x + y = 0

Ou seja:

x = - y

Opa, então já sabemos que os vetores desse subespaço W podem ser escritos assim:

x , y , z = ( - y , y , z )

- y , y , 0 + 0,0 , z = y ∙ - 1,1 , 0 + z ∙ 0,0 , 1

Ou seja, o subespaço W é gerado pelos vetores:

w 1 = - 1,1 , 0

w 2 = ( 0,0 , 1 )

Passo 2

Os vetores que encontramos no passo 1 formam a base do subespaço W :

β = - 1,1 , 0 , 0,0 , 1

E aí nesse item, queremos encontrar uma base pro complemento ortogonal de W , ou seja, uma base de W ⊥

Depois de encontrarmos essa base, vamos ortonormalizar ela ok?

Primeiramente, para encontrarmos a base de W ⊥ vamos lembrar que seus elementos devem ser ortogonais aos elementos da base β

Ou seja: um vetor ( x , y , z ) de W ⊥ deve ter o produto interno igual a 0 com os elementos da base β , bora lá!

Passo 3

Vamos chamar de ( x , y , z ) um vetor de W ⊥ , queremos que esse vetor seja ortogonal aos elementos da base β , ou seja:

x , y , z ∙ - 1,1 , 0 = 0     ( I )

x , y , z ∙ 0,0 , 1 = 0     ( I I )

Desenvolvendo a equação ( I ) , temos

- x + y = 0

y = x

E desenvolvendo a equação 2, temos

z = 0

Logo, um vetor ( x , y , z ) de W ⊥ pode ser escrito assim:

x , y , z = ( y , y , 0 )

y , y , 0 = y ∙ 1,1 , 0

Logo, uma base para W ⊥ é

α = 1,1 , 0

Detalhe importante: a soma da dimensão de W com a dimensão do seu complemento ortogonal, sempre deve dar o tamanho da dimensão que estamos trabalhando, no caso, o R ³

Repara que faz sentido: W tem dimensão 2 enquanto W ⊥ tem dimensão 1

Passo 4

Beleza, encontramos a base do complemento ortogonal:

α = 1,1 , 0

Mas aí ele pede uma base ortonormal!!

Como só temos um vetor na base, não precisamos nos preocupar com a ortogonalidade, mas vamos ter que normalizar esse vetor

Pra normalizar, basta dividirmos ele pelo seu próprio módulo:

( 1,1 , 0 ) 1 2 + 1 2 + 0 2 = ( 1,1 , 0 ) 2 = 1 2 , 1 2 , 0

Portanto, uma base ortonormal para W ⊥ é

α ^ = 1 2 , 1 2 , 0

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Resposta

α ^ = 1 2 , 1 2 , 0

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