Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

O conjunto B = 2 , - 1 , k , 1 é uma base ortogonal do R 2 em relação ao produto interno

x 1 , y 1 ∙ x 2 , y 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2

Determinar o valor de k e obter, a partir de B , uma base ortonormal.

Passo 1

Para que dois vetores v e u sejam ortogonais, precisamos que v , u = 0 . Lembrando que foi definido um novo produto interno para usarmos!!

Logo, como a base B é ortogonal, temos:

2 , - 1 , k , 1 = 4 k + 2 - k - 1 = 3 k + 1 = 0 ⇒

⇒ k = - 1 3

Passo 2

Para obtermos uma base ortonormal a partir de B , basta normalizarmos os vetores. É importantíssimo tomar cuidado aqui.

Para normalizarmos um vetor, precisamos dividi-lo por sua norma, certo? Mas a norma de um vetor é definida por meio de um produto interno! E como temos um produto interno não usual definido, a norma do vetor também mudará!

Temos que:

x 1 , y 1 , x 1 , y 1 = 2 x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + y 1 2 = x 1 2 + x 1 + y 1 2

Sendo assim:

x 1 , y 1 = x 1 , y 1 , x 1 , y 1 = x 1 2 + x 1 + y 1 2

Agora, normalizando os vetores:

2 , - 1 4 + 2 + - 1   2 = 2 5 , - 1 5

- 1 3 , 1 1 9 + - 1 3 + 1 2 = - 1 3 , 1 1 9 + 4 9 = - 1 3 , 1 ∙ 3 5 = - 1 5 , 3 5

Resposta

k = - 1 3

2 5 , - 1 5 , - 1 5 , 3 5

Exercícios de Livros Relacionados

6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3