Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 146. – 20

O conjunto B = 2 , - 1 , k , 1 é uma base ortogonal do R 2 em relação ao produto interno

x 1 , y 1 x 2 , y 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2

Determinar o valor de k e obter, a partir de B , uma base ortonormal.

Passo 1

Para que dois vetores v e u sejam ortogonais, precisamos que v , u = 0 . Lembrando que foi definido um novo produto interno para usarmos!!

Logo, como a base B é ortogonal, temos:

2 , - 1 , k , 1 = 4 k + 2 - k - 1 = 3 k + 1 = 0

k = - 1 3

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Passo 2

Para obtermos uma base ortonormal a partir de B , basta normalizarmos os vetores. É importantíssimo tomar cuidado aqui.

Para normalizarmos um vetor, precisamos dividi-lo por sua norma, certo? Mas a norma de um vetor é definida por meio de um produto interno! E como temos um produto interno não usual definido, a norma do vetor também mudará!

Temos que:

x 1 , y 1 , x 1 , y 1 = 2 x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + y 1 2 = x 1 2 + x 1 + y 1 2

Sendo assim:

x 1 , y 1 = x 1 , y 1 , x 1 , y 1 = x 1 2 + x 1 + y 1 2

Agora, normalizando os vetores:

2 , - 1 4 + 2 + - 1   2 = 2 5 , - 1 5

- 1 3 , 1 1 9 + - 1 3 + 1 2 = - 1 3 , 1 1 9 + 4 9 = - 1 3 , 1 3 5 = - 1 5 , 3 5

Resposta

k = - 1 3

2 5 , - 1 5 , - 1 5 , 3 5

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