Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 145. – 14

Determinar os vetores a , b , c para que o conjunto B = 1 , - 3,2 , 2,2 , 2 , a , b , c seja uma base ortogonal do R 3 em relação ao produto interno usual. Construir a partir de B uma base ortonormal.

Passo 1

Bom, como o enunciado está pedindo os vetores a , b , c que tornam o conjunto B uma base ortogonal, então podemos supor que os dois primeiros vetores já dados são ortogonais entre si. Precisamos então que:

1 , - 3,2 , a , b , c = a - 3 b + 2 c = 0

2,2 , 2 , a , b , c = 2 a + 2 b + 2 c = 0

Montando um sistema com isso:

a - 3 b + 2 c = 0 2 a + 2 b + 2 c = 0       I I I

Fazendo I I - I :

a + 5 b = 0 a = - 5 b

Substituindo em I :

- 5 b - 3 b + 2 c = 0

c = 4 b

Logo os vetores a , b , c são do tipo:

- 5 b , b , 4 b = b - 5,1 , 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para transformarmos esse conjunto em uma base ortonormal B ' precisamos normalizar os vetores de B . Tomando o vetor - 5,1 , 4 como o vetor a , b , c :

1 , - 3,2 1 + 9 + 4 = 1 14 , - 3 14 , 2 14

2,2 , 2 4 + 4 + 4 = 2 12 , 2 12 , 2 12 = 1 3 , 1 3 , 1 3

- 5,1 , 4 25 + 1 + 16 = - 5 42 , 1 42 , 4 42

Resposta

b - 5,1 , 4

1 14 , - 3 14 , 2 14 , 1 3 , 1 3 , 1 3 , - 5 42 , 1 42 , 4 42

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