Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Determine se os conjuntos abaixo são ortogonais:

a   - 1 4 - 3 , 5 2 1 , 3 - 4 - 7

b   3 - 2 1 3 , - 1 3 - 3 4 , 3 8 7 0

Passo 1

Para determinarmos se são ortogonais basta vermos se o produto de cada vetor com os outros vetores do conjunto vale 0 .

a Como temos 3 vetores no conjunto, repare que teremos que testar 3 combinações. O primeiro com o segundo, o primeiro com o terceiro e o segundo com o terceiro.

- 1,4 , - 3 , 5,2 , 1 = - 5 + 8 - 3 = 0

- 1,4 , - 3 , 3 , - 4 , - 7 = - 3 - 16 + 21 = 2

Opa, os vetores - 1,4 , - 3 e 3 , - 4 , - 7 não são ortogonais. Portanto, o conjunto também não.

Passo 2

b Novamente teremos 3 combinações:

3 , - 2,1 , 3 , - 1,3 , - 3,4 = - 3 - 6 - 3 + 12 = 0

3 , - 2,1 , 3 , 3,8 , 7,0 = 9 - 16 + 7 + 0 = 0

- 1,3 , - 3,4 , 3,8 , 7,0 = - 3 + 24 - 21 + 0 = 0

Todos os vetores são ortogonais entre si. Logo, o conjunto é ortogonal.

Resposta

a Não é ortogonal

b É ortogonal

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6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3