Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Uma matriz é chamada de permutação se em cada linha e em cada coluna há um único 1 e as demais entradas são zeros. Afirma-se:

  1. Se M é uma matriz de permutação, então M - 1 = M T .
  2. Se M - 1 = M T , então M é uma matriz de permutação.

a   I e II são verdadeiras

b   I é falsa e II é verdadeira

c   I é verdadeira e II é falsa

d   I e II são falsas

Passo 1

Afirmativa I:

A afirmativa diz que se a matriz é de permutação então M - 1 = M T . Mas o que te lembra a inversa da matriz ser igual a transposta??

OBS: Estamos assumindo aqui que as matrizes são quadradas e invertíveis, se não o exercício não faz sentido.

As matrizes que tem essa característica são as matrizes ortogonais!!! Mas pera o que mais elas tem de especial??

Que os seus vetores coluna são vetores ortoNORMAIS! E por acaso uma matriz permutação, por exemplo, possuem apenas um único zero em cada linha ou coluna ou seja, formam a base canônica do R n !!

M = 1 0 ⋯ 0 0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 … 0 1

Repare que a os vetores da bases canônicas são sempre ortonormais!

Poderíamos botar os “ 1 ” na outra diagonal também, ou permutar as colunas e linhas entre si. Entretanto, sempre irão ser uma matriz permutação e por isso também uma matriz ortogonal.

Logo a inversa será sempre igual a transposta e portanto a afirmativa I é verdadeira.

Passo 2

Afirmativa II:

Entretanto, o contrário não é tão verdade assim. Vamos pegar um contra exemplo, pois basta mostrar um caso falso para destruir a afirmação.

Podemos construir matrizes ortogonais sem usar os vetores da base canônica, olha só, vamos usar o R 2 como exemplo:

M = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

Repare que os vetores são ortogonais já que:

1 2 , 1 2 ,   1 2 ,   - 1 2 = 1 2 - 1 2 = 0

E também são normais:

1 2 , 1 2 = 1 2 2 + 1 2 2 = 1 = 1

1 2 , - 1 2 = 1 2 2 + - 1 2 2 = 1 = 1

E mesmo assim não formam uma matriz permutação.

Resposta

Letra ( c )

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6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3