Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Sabendo que a base β = 1,2 , 1,1   d e   R ² é ortonormal em relação a um certo produto interno. Determine a fórmula desse produto interno.

DICA: Escreva ( x , y ) como combinação linear dos vetores da base β

Passo 1

Normalmente, a primeira coisa que nós fazemos quando o enunciado nos dá uma dica, é tentar entender o que podemos pegar dela, isso se chama: malandragem hahaha

Fazendo o que ele nos disse, teremos:

x , y = a 1,2 + b 1,1

x = a + b y = 2 a + b ⇒ a = - x + y b = 2 x - y

Passo 2

Agora vem o grande pulo do gato...

Como a base α que queremos é ortonormal, temos que o produto interno de dois vetores de β, é igual ao produto interno canônico dos vetores com coordenadas na base α.

Lembre-se de que: a = - x + y b = 2 x - y

Daí, a fórmula desse produto interno será dada por:

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 , y 1 α , x 2 , y 2 α c a n

                                                                                                                                          = - x 1 + y 1 , 2 x 1 - y 1 , - x 2 + y 2 , 2 x 2 - y 2

                                                                                                                                                  = - x 1 + y 1 ) ( - x 2 + y 2 ) + ( 2 x 1 - y 1 2 x 2 - y 2

                                                                                                    = 5 x 1 x 2 - 3 x 1 y 2 - 3 y 1 x 2 + 2 y 1 y 2 .

Essa será a fórmula desse produto interno.

Resposta

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = 5 x 1 x 2 - 3 x 1 y 2 - 3 y 1 x 2 + 2 y 1 y 2 .

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