Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Seja V um espaço vetorial com < , > definido, mas não informado aqui. Seja α = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 uma base de V . Se u α = 1 1 1 1 , v α = 1 2 3 - 1 e u , v = 3 , então α é base ortonormal em relação ao < , > de V ?

Passo 1

Se passarmos nossos vetores da base α para a canônica, temos que:

u = v 1 + v 2 + v 3 + v 4

v = v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 - v 4

u , v = v 1 + v 2 + v 3 + v 4 , v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 - v 4 = 3

Pela linearidade do produto interno podemos quebrar isso em:

v 1 , v 1 + 2 v 1 , v 2 + 3 v 1 , v 3 - v 1 , v 4 + v 2 , v 1 + 2 v 2 , v 2 + 3 v 2 , v 3 - v 2 , v 4 + v 3 , v 1 + 2 v 3 , v 2 + 3 v 3 , v 3 - v 3 , v 4 + v 4 , v 1 + 2 v 4 , v 2 + 3 v 4 , v 3 - v 4 , v 4 = 3

E agora? Bom, se α for ortogonal, temos que v i , v j vale 0 se i ≠ j ! Isso vai cortar um monte de termos da nossa igualdade aí em cima! Ficamos então com:

v 1 , v 1 + 2 v 2 , v 2 + 3 v 3 , v 3 - v 4 , v 4 = 3

Mas o enunciado pergunta se ela é ortonormal! Então além de v i , v j valer 0 se i ≠ j , precisamos que v i , v j seja igual a 1 se i = j ! Então ficamos com:

1 + 2 + 3 - 1 = 3

5 = 3

5 com certeza não é igual a 3 , então α não é ortonormal!

Resposta

α não é ortonormal.

Exercícios de Livros Relacionados

6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3