Exercícios Resolvidos de Binários e Resultantes

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Enunciado

01) Considere o sistema material indicado na figura, composto por uma placa plana ABCDEFGH, de espessura desprezível e uma barra vertical AI fixa rigidamente à placa. O sistema está livre no espaço. A placa plana é homogênea e tem peso - P k → . A barra vertical tem peso desprezível. Sobre o sistema material também atuam as seguintes forças: F → B ,   B ,   F → G ,   G ,   F → H ,   H ,   F → I ,   I , com F → B = Q k → , F → G =   - Q i → , F → H = 2 Q j → ,   F → I =   - 2 Q i → - Q j → . Determine:

a) Mostre que o centro de massa da placa plana ABCDEFGH é o ponto M = ( 16 5 L , 112 25 L ,   0 ) .

b) A resultante R → e o momento resultante M → A no ponto A.

c) A relação que deve existir entre P e Q para que o momento resultante em torno do eixo A y seja nulo.

d) A relação que deve existir entre P e Q para que o sistema de forças aplicadas possa ser reduzido a uma única força.

e) O momento mínimo do sistema de forças, considerando que P e Q satisfaçam a relação obtida no item anterior.

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo certinho com vocês?

a) Para começar, precisamos encontrar o centro de massa da placa ABCDEFGH. Nesse tipo de questão, a principal ideia é dividir a placa em partes conhecidas da geometria (quadrados, triângulos, retângulos) para calcularmos o seu CM. Isso porque, como a placa é homogênea, podemos dizer que:

y C M ⋅ A T = y 1 ⋅ A 1 + y 2 ⋅ A 2 + … + y k ⋅ A k

Onde A T = ∑ A é a área total da placa plana ABCDEFGH.

Daí, para determinar y C M , temos:

y C M =   y 1 ⋅ A 1 A T + y 2 ⋅ A 2 A T + … + y k ⋅ A k A T  

Para o x C M a equação é análoga.

Beleza, então vamos dividir em 3 partes interessantes:

O quadrado ABCH, o furo quadrado CDEF e o triângulo retângulo CGH.

Lembrando que o furo quadrado é considerado como tendo “área negativa”, já que na verdade não há pedaço da placa nessa região, mas estamos considerando esse pedaço no triângulo CGH

O quadrado e o furo quadrado possuem seu x C M e y C M localizados bem no meio da sua geometria, devido à simetria.

Já o triângulo retângulo tem o CM localizado no seu baricentro, que fica a 1/3 da altura e 1/3 da base.

Assim, podemos montar a seguinte tabela:

Prontinho, encontramos que x C M = 16 L 5 e y C M = 112 L 25 .

Como a placa é plana, z C M = 0 .

Portanto, o CM da placa se localiza no ponto M = ( 16 5 L , 112 25 L ,   0 ) .

Passo 2

b) Bom, nesse item precisamos determinar a resultante das forças R → e o momento resultante M → A atuando em A.

É importante lembrar que pra transportar uma força para outro ponto da placa, precisamos contabilizar o momento que ela faz naquele ponto. Assim, pegando por exemplo a força peso que atua no ponto M. A contribuição dela na resultante das forças é o próprio P . Mas, a contribuição dela na resultante dos momentos em A, precisa ser calculada:

M → A P = P - k → × 16 L 5 i → + 112 L 25 j → =   P - k → × 16 L 5 i → +   P - k → × 112 L 25 j →

M → A P = - 16 P L 5 j → + 112 P L 25 i →

Perceberam a ideia? Podemos pegar o braço de cada força em cada um dos eixos pra fazer os respectivos produtos vetoriais. Depois de realizar todos os produtos vetoriais, só precisamos somá-los.

Bora fazer isso montando uma tabelinha, vai ficar assim:

Massa! Agora é só somarmos:

R → = ∑ F → i =   - 3 Q i → + Q j → + Q - P k →

Somando os momentos, temos:

M → A = 3 Q L - 112 P L 25 i → + 16 P L 5 - 12 Q L j → + 12 Q L k →

Prontinho! Lá foi mais uma letra. Vamo pra próxima!

Passo 3

c) Precisamos determinar a relação entre P e Q para que o momento em relação ao eixo A y seja nulo. O bom é que já calculamos o momento resultante em A, daí o eixo A y é simplesmente a componente em j → de M → A . Assim:

M → A j = 16 P L 5 - 12 Q L

∴   M → A j = 0 ⇔ 16 P L 5 - 12 Q L = 0

Logo:

16 P L 5 = 12 Q L   ⇒ P Q = 12 ⋅ 5 16 = 15 4

Portanto, precisamos ter:

P Q = 15 4

Prontinho 😊

Passo 4

d) Precisamos determinar a relação entre P e Q para que o sistema possa ser reduzido a uma única força. Mas o que significa ser redutível a uma única força? Significa que o invariante escalar é nulo, ou seja, o momento resultante em A é perpendicular à força resultante no mesmo polo.

Matematicamente, podemos expressar essa condição por:

I = M → A ⋅ R → = 0

Usando os valores que encontramos no item B, temos que:

- 3 Q 3 Q L - 112 P L 25 + Q 16 P L 5 - 12 Q L + Q - P 12 Q L = 0

∴ Q L - 9 Q + 3 ⋅ 112 25 P + 16 P 5 - 12 P = 0  

⇒ - 9 Q + 116 P 25 = 0  

∴ P Q = 225 116

Excelente!! Já matamos mais uma letra, falta só mais uma.

Passo 5

e) Neste item devemos determinar o momento mínimo considerando que P e Q obedecem à relação do item D. Ou seja, o momento mínimo quando o nosso sistema de forças é redutível a uma única força.Mas, pensa comigo, se podemos reduzir o sistema inteiro a uma única força, escolhendo como polo o ponto de aplicação dessa força, teremos o momento mínimo nulo.É exatamente isso, como podemos reduzir o sistema a uma única força, o momento mínimo na placa é nulo!

Ufaa! Mais uma questão terminada. Espero que vocês tenham conseguido entender direitinho. Até a próxima galera, tamo junto!

Resposta

a) Resolução no texto.

b) R → = - 3 Q i → + Q j → + Q - P k →

M → A = 3 Q L - 112 P L 25 i → + 16 P L 5 - 12 Q L j → + 12 Q L k →

c) P Q = 15 4

d)

P Q = 225 116

e) Resolução no texto.

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