Exercícios Resolvidos de Binários e Resultantes

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Enunciado

01) Na figura ao lado, os vértices A B C D E F G H determinam um cubo de lado a . Aos vértices A , C e G desse cubo aplicam-se as forças indicadas. Pede-se:

a) Determinar a resultante do sistema de forças;

b) determinar o momento resultante em relação ao polo E ;

c) determinar o momento resultante em relação ao eixo E H ;

d) Verificar se o sistema é redutível a uma única força;

e) determinar o momento mínimo do sistema de forças.

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo tranquilo com vocês?

Essa questão é bem legal, basicamente temos um cubo, de lado a , sob a ação de forças de mesma intensidade F → em diferentes vértices.

a) Pra começar, devemos calcular a resultante de forças do sistema. A dificuldade é que as forças atuam em vértices diferentes, como a gente pode fazer nesse caso?

Então, não precisa se preocupar muito com isso. A ideia é escrever as forças vetorialmente, e somá-las eixo a eixo, sacaram?

Para o cubo em questão, temos:

No vértice A , temos:

F → A = F j → + F z →

Em G :

F → g = F ( - k → )

Em F :

F → C = F ( - i → )

Somando esses resultados, vem:

∑ F = R →

∑ F = F j → + F k → +   F - k → +   F - i →

R → =   - F i → + F j →

Prontinho 😊

Passo 2

b) Nesse item devemos determinar o momento resultante das forças em relação ao polo E . Lembra como podemos calcular, vetorialmente, o momento de uma força? Por exemplo, o momento que a força aplicada em A realiza em G , é dada por:

M → G E = G - E × F ( - k → )

Sacou? Massa, então bora considerar a contribuição do momento que cada força realiza no polo E . Daí:

M → G E = G - E × F - k → M → C E = C - E × F - i → M → A E = A - E × F j → + F k →

Excelente! Lembrando que o cubo possui lado a . Vale que:

G - E = a i → + a j → C - E = a i → + a j → + a k → A - E = a k →

Substituindo esses dados no cálculo do momento, temos:

M → G E = ( a i → + a j → ) × F - k → M → C E = a i → + a j → + a k → × F - i → M → A E = a k → × F j → + F k →

Logo:

M → G E = F a j → - i → M → C E = F a k → - j → M → A E =   - F a i →

Show de bola! Por fim, temos que o momento resultante no polo E , M → E , é dado por:

M → E = M → G E + M → C E + M → A E

Substituindo, temos:

⇒ M → E = F a j → - i → +   F a k → - j → - F a i →

∴ M → E =   F a ( - 2 i → + k → )

Aee, prontinho! Vamo pra próxima 😊

Passo 3

c) Devemos determinar o momento resultante em relação ao eixo E H .

O problema agora é que o momento é em relação a um eixo, como podemos calcular isso?

Sempre que queremos calcular o momento em relação a um eixo, podemos calcular o momento em relação a um dos pontos pertencentes a ele e tomar a componente do resultado na direção do próprio eixo.

Aqui, por exemplo, já calculamos o momento em relação ao ponto E no item b). Daí:

M → E = F a - 2 i → + k →

Assim, agora basta pegarmos a componente desse resultado na direção do eixo E H , ou seja, na direção i → . Assim:

| M → E H |   = M → E ⋅ i →

⇒ M → E H =   - 2 F a i →

Prontinho, é só seguir esse passo a passo que vai dar certo 😉

Passo 4

d) Beleza gente, já estamos quase acabando. Nesse item, devemos verificar se o sistema é redutível a uma única força.

Pra um sistema ser redutível a uma única força precisamos que a força resultante R → e o momento resultante em um dado ponto sejam perpendiculares (ou ainda, que o momento seja nulo). Pra verificar essa perpendicularidade, costuma-se definir uma nova grandeza.

Quem tá lembrado do nome dela? haha

É o Invariante escalar! Ele é definido como:

I = R → ⋅ M → P

Ou seja, um produto escalar. Se R → e M → P forem perpendiculares, teremos I = 0 . Aproveitando o resultado que já temos, podemos usar:

M → E = F a ( - 2 i → + k → )

Do item a), temos também que:

R → =   - F i → + F j →

Logo:

I = - F i → + F j → ⋅ F a - 2 i → + k →

∴ I = 2 F 2 a ≠ 0

Logo, I ≠ 0 , o que implica no sistema não ser redutível a uma única força.

Passo 5

e) Nesse item devemos determinar o momento mínimo do sistema de forças.

Pra fazer isso, bora pensar na força e no momento resultantes no item e):

R → =   - F i → + F j → M → E = F a ( - 2 i → + k → )

Beleza! Lembra que, quando a gente transporta uma força de um ponto para outro, isso gera também um momento no novo ponto?

Esse momento, é sempre perpendicular à força.

Assim, como queremos calcular o momento mínimo, o objetivo é pensar no ponto do sistema no qual não haja componente do momento perpendicular à força resultante, sacou?

Pensa comigo, se em um ponto P existir essa componente do momento perpendicular à resultante, é porque há algum outro ponto Q que, ao transportarmos a resultante pra P gerou essa componente perpendicular. Sacou?

Resumindo, sempre que queremos calcular o momento mínimo é só calcular, para um ponto qualquer do sistema, a componente do momento resultante que é paralela à força resultante. Show?

Daí, a direção da força resultante é dada por:

R → R → = F - i → + j → 2 F = 1 2 ⋅ ( - i → + j → )

Assim, pra calcular o momento mínimo, usando o ponto E por exemplo, podemos fazer:

M → E ⋅ R → R → =   F a - 2 i → + k → ⋅ 1 2 ⋅ ( - i → + j → )

⇒ M m i n = F a 2 ⋅ 2

Logo, o vetor momento mínimo é dado por:

M → m i n = F a 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2 ⋅ ( - i → + j → )

⇒ M → m i n = F a ( - i → + j → )

Bouaaa! Matamos mais uma questão gente. É isso aí!!

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima 😉

Resposta

a) R → =   - F i → + F j →

b)

M → E =   F a ( - 2 i → + k → )

c)

M → E H =   - 2 F a i →

d) Resolução no texto.

e)

M → m i n = F a ( - i → + j → )

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