Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Introdução

UFRJ-PF-2015.1.-1

Em um bairro existem 20 mil residências que podem ser atendidas por 3 empresas de TV a cabo. A empresa A tem 2100 assinantes, a empresa B tem 1850 e a empresa C tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são assinantes de A e B , 120 de A e C , 180 de B e C e 30 que são assinantes das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual é a probabilidade de:

  1. Ser assinante apenas da empresa A ?
  2. Assinar pelo menos uma delas?
  3. Não ter TV a cabo?

Passo 1

Temos um total de 20000 residências que podem ser atendidas por três empresas de TV diferentes → A , B , C .

Vamos anotar os dados que o problema dá:

A → 2100   a s s i n a n t e s

B → 1850   a s s i n a n t e s

C → 2600   a s s i n a n t e s

Esses são os totais de usuários de cada empresa... mas também temos usuários que usam serviços de mais de uma empresa. Esses valores nos dão:

A ∩ B → 420   a s s i n a n t e s

A ∩ C → 120   a s s i n a n t e s

B ∩ C → 180   a s s i n a n t e s

A ∩ B ∩ C → 30   a s s i n a n t e s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra facilitar a gente a resolver todos os itens, vamos usar aquela ideia de conjuntos?

Vamos ter três conjuntos, um pra cada empresa, e já conhecemos todas as interseções.

Para preencher começamos pela interseção entre as três empresas que vale 30 e depois pelas interseções entre duas (descontando o 30 ) e por fim pro valor total de assinantes de cada empresa (sem esquecer de descontar todas as interseções).

Por fim, ficamos com isso aqui:

Passo 3

(a)

Olhando no nosso esquema de conjuntos, a gente vê que só 1590 residências são assinantes somente da empresa A .

Então a probabilidade da escolhida ser assinante só de A é:

= 1590 20000

= 0,0795

Lembrando que 20000 é o total de residências.

Passo 4

(b)

Pra achar essa probabilidade, a gente precisa encontrar o número total de pessoas que assinam, certo? Afinal de contas, a probabilidade de pelo menos uma pessoa assinar é a probabilidade de ocorrerem assinaturas. Pra encontrar esse número, podemos somar todos os números que aparecem no nosso esquema de conjuntos ou utilizar a fórmula da união de conjuntos. Assim:

A U B U C = 1590 + 90 + 30 + 390 + 150 + 2330 + 1280

= 5860

Mas veja, podemos obter essa resposta também usando:

A U B U C = A + B + C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C

A U B U C = 2100 + 1850 + 2600 - 420 - 120 - 180 + 30

A U B U C = 5860

E daí a probabilidade será:

= 5860 20000

= 0,293

Passo 5

(c)

Se o nosso esquema representa as residências que tem pelo menos uma TV à cabo, pra saber o total de residências sem nenhuma, é só fazer...

20000 - 5860 = 14140   r e s i d ê n c i a s   s e m   T V   à   c a b o

E daí a probabilidade vai ser:

= 14140 20000

= 0,707

Você poderia pensar também que:

P n ã o   t e r   n e n h u m a   T V   à   c a b o = 1 - P t e r   p e l o   m e n o s   u m a

E isso a gente tinha calculado antes:

P t e r   p e l o   m e n o s   u m a = 0,293

Daí:

P n ã o   t e r   n e n h u m a = 1 - 0,293

= 0,707

Resposta

a   0,0795

b   0,293

c   0,707

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