Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Introdução

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 125-45

Um inspetor da seção de controle de qualidade de uma firma examina os artigos de um lote que tem m peças de primeira qualidade e n peças de segunda qualidade. Uma verificação dos b primeiros artigos selecionados ao acaso do lote mostrou que todos eram de segunda qualidade ( b < n - 1 ) . Qual a probabilidade de que entre os dois próximos artigos selecionados, ao acaso, dos restantes, pelo menos um seja de segunda qualidade?

Passo 1

Vamos lá!! Queremos saber qual a probabilidade de que entre os dois próximos artigos selecionados, dos restantes, pelo menos um seja de segunda qualidade.

Eeepa! Nós lemos um pelo menos? Siim!

Quando falamos “pelo menos” temos que nos lembrar da ideia que é: pensar no problema inverso. Ou seja, se ele quer que pelo menos um seja de segunda qualidade, o meu problema inverso será: Nenhum artigo de segunda qualidade!

E como vamos calcular essa probabilidade?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos entender e escrever o que está acontecendo...

O enunciado diz que existem artigos de primeira e segunda qualidade, sendo:

  m   d e   p r i m e i r a   q u a l i d a d e

  n   d e   s e g u n d a   q u a l i d a d e

Então, podemos concluir que o total de artigos é m + n   .

Em seguida, o enunciado fala que retiramos b artigos, ou seja, agora nossa quantidade total de artigos é:

m + n - b

Além disso, ele diz que esse artigos retirados eram todos de segunda qualidade, o que nos mostra que ainda existem na amostra m artigos de primeira qualidade, certo?

Bom, vamos colocar aqui as nossa quantidades atuais de cada coisa:

- Artigo de primeira qualidade: m

- Artigo de segunda qualidade :   n - b

Total de artigos: m + n - b

Passo 3

Vamos chamar nossos eventos de evento A e B:

A = r e t i r a d a   d o   p r i m e i r o   a r t i g o   d e   p r i m e i r a   q u a l i d a d e

B = s e g u n d a   r e t i r a d a   d o   a r t i g o   d e   p r i m e i r a   q u a l i d a d e

Para calcular a probabilidade de não sair nenhum de segunda qualidade é só forçar ambos serem de primeira qualidade, concorda?

Podemos fazer isso da seguinte forma:

Primeiro vamos forçar o evento A :

P A = # A # Ω = m m + n - b

Beleza?!

Passo 4

Da mesma forma, forçando ainda mais a barra para o evento B também acontecer, teremos:

P B = # B # Ω = m - 1 m + n - b - 1

Show de bola?!

Passo 5

Assim, para a retirada dos dois teremos:

P A . P B = m m + n - b . m - 1 m + n - b - 1

Passo 6

Agora vamos utilizar o complementar!! A resposta será então:

1 - P A . P B = 1 - m m + n - b . m - 1 m + n - b - 1

Resposta

1 - m m + n - b . m - 1 m + n - b - 1

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