Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Introdução

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Enunciado

O giz fornecido para a ICeX é fornecido por três fabricantes. O primeiro fabricante fornece 30 % de todo o giz, o segundo fabricante fornece 20 % e o terceiro 50 % . O primeiro fabricante produz 8 % de itens defeituosos, o segundo fabricante produz 10 % de itens defeituosos, e o terceiro fabricante produz 5 % de itens defeituosos.

Da compra realizada em um mês, são retiradas 80 peças de giz. Qual é a probabilidade de observarmos no máximo 10 peças de giz defeituosas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de estatística. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de observarmos no máximo 10 peças defeituosas em um lote de 80 peças. Alguma ideia de como começamos?

Vamos começar calculando a probabilidade de observar uma peça defeituosa. Bem, temos que

P ( d e f e i t u o s a ) = P ( d e f e i t u o s a |   v e i o   d e   3 ) + P ( d e f e i t u o s a | v e i o   d e   2 ) + P ( d e f e i t u o s a | v e i o   d e   1 )

Ou seja, é a soma das probabilidades condicionais da peça ser defeituosa dada que veio de cada fornecedor. Podemos fazer isso pois o conjunto dos fornecedores forma uma partição. Então como o primeiro fabricante produz 8 % de itens defeituosos, o segundo fabricante produz 10 % de itens defeituosos, e o terceiro fabricante produz 5 % de itens defeituosos. Temos que

P ( d e f e i t u o s a ) = P ( d e f e i t u o s a |   v e i o   d e   3 ) * P ( v e i o   d e   3 ) + P ( d e f e i t u o s a | v e i o   d e   2 ) P ( v e i o   d e   2 ) +

+ P ( d e f e i t u o s a | v e i o   d e   1 ) P ( v e i o   d e   1 )

= 0.05 * 0.5 + 0.1 * 0.2 + 0.08 * 0.3

= 6.9 %

Passo 2

Agora que sabemos qual é a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 6.9 % . Agora, Como podemos calcular a probabilidade de no máximo 10 peças defeituosas em um lote de 80 peças. Alguma ideia?

Podemos usar a distribuição binomial. Já que ela serve para contar a probabilidade de se obter um certo número de sucessos em n lançamentos. E essa distribuição tem a seguinte definição.

P ( x = k ) = n ! k ! ( n - k ) ! p k ( 1 - p ) n - k

onde p é probabilidade do evento de interesse e k o número de ocorrências desse evento.

No nosso caso, n = 80 ,   p = 6.9 % . Mas quem seria o nosso k . Bem, como queremos a probabilidade de no máximo 10 peças defeituosas em um lote de 80 peças, isso quer dizer que queremos a soma das probabilidades de termos uma peça, duas peças, …., dez peças defeituosas, ou seja, A nossa probabilidade de interesse é:

P ( x = 1 ) + ⋯ + P ( x = 10 )

Que deve ser calculado com a ajuda de um programa, pois as contas são absurdas.

Resposta

Desenvolvimento acima

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