Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Introdução

UFRJ, ProbEst, P1/2013.1, 1

Para sagrar-se campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas, todas elas eliminatórias. José é um dos participantes e suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado até então) foram estimadas em: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª partida, 60% na 3ª partida (semifinal) e 50% na 4ª partida (final). Observe que estas probabilidades independem de quem seja o seu adversário em cada partida. Calcule as probabilidades de que José:

  1. Não consiga chegar até a final;

Passo 1

Fala Aíí!! Como no enunciado nos é dado a probabilidade de vitória em cada partida, iremos utilizar essas informações para resolver a questão, beleza?!

E como faremos isso?? Iremos calcular a probabilidade dele chegar na final e calcularemos o complementar disso. O complementar será a probabilidade dele não chegar na final. Show de bola?!

Primeiramente vamos montar o espaço amostral desse torneio de tênis.

Quais os resultados possíveis?

e 1 :   eliminação na primeira partida

e 2 :   eliminação na segunda partida

e 3 :  eliminação na semifinal

e 4 :  eliminação na final

v :  vencer o torneio

Então, o nosso espaço amostral é:

Ω → e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos determinar a probabilidade de cada um desses resultados.

Se você reparar, no enunciado é dada a informação da probabilidade dele ganhar na primeira partida é de 80 % . Assim, a probabilidade dele perder de primeira é 1 menos a probabilidade dele ganhar a primeira partida, concorda? Portanto,

p e 1 = 1 - 0,80 = 0,2

Belezinha?!

Seguindo o mesmo raciocínio, a probabilidade dele perder na segunda partida é igual a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. dele perder a segunda:

p e 2 = 0,8 × 1 - 0,7 = 0,24

Já ta dando pra pegar a ideia, né?! Vamos continuar com o mesmo racioncínio!!

A Probabilidade dele perder na terceira partida é a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ganhar a segunda vezes a prob. de perder a terceira hahahahaha

p e 3 = 0,8 × 0,7 × 1 - 0,6 = 0,224

Prob. de ele perder na quarta segue o mesmo raciocínio.

p e 4 = 0,8 × 0,7 × 0,6 × 1 - 0,5 = 0,168

E a prob. de vencer o torneio é:

p v = 0,8 × 0,7 × 0,6 × 0,5 = 0,168

Assim já conseguimos calcular a probabilidade de cada um dos casos acontecerem.

Beleza?!

Passo 3

(a)

A questão nos pede para calcularmos a probabilidade dele não conseguir chegar a final.

Considerando:

F :  chegar na final

A gente pode dizer que F → { e 4 , v } , concorda? São os dois casos que a pessoa pelo menos chega a final.

Então:

P F = p e 4 + p v

P F = 0,336

Passo 4

Mas o exercício pede a probabilidade do cara não chegar a final, ou seja:

P F c =   ?

Pelo que a gente sabe:

P F c = 1 - P F

P F c = 1 - 0,336

P F c = 0,664

Logo, a probabilidade dele não conseguir chegar na final é 0,664 ou 66,4%.

Resposta

a   66,4 %

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