Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Introdução

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,110 -09

Problema 3: Três jogadores A, B e C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são os resultados possíveis do torneio ?

No espaço amostral do problema 3, atribua a cada ponto contendo K letras a probabilidade 1 2 k   (assim, AA tem probabilidade 1 4 ).

a) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos do espaço amostral é 1.

b) Calcule a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha duas partidas seguidas). Em seguida calcule a probabilidade de que B vença.

c) Qual a probabilidade de que não haja decisão?

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema 3.

Para terminar o torneio duas coisas podem acontecer:

( i )   U m   j o g a d o r   g a n h a r   d u a s   p a r t i d a s   s e g u i d a s .

( i i )   S e r e m   d i s p u t a d a s   q u a t r o   p a r t i d a s   a o   t o d o .

- Vamos olhar para o caso ( i ) e escrever os possíveis eventos do nosso espaço amostral:

(AA) →   o jogador A ganhou a primeira partida contra B e a segunda contra C.

(BB) →   Análogo ao caso AA. O jogador B ganhou a primeira partida contra A e a segunda contra C.

(ACC) →   O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C. Já C, ganhou a segunda partida contra A e ganhou a terceira partida que foi contra B.

(BCC) →   Análogo ao caso ACC.

(ACBB) →   O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo, o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e ganha.

(BCAA) Análogo ao caso ACBB.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

- Vamos olhar para o caso (ii) e escrever os possíveis eventos:

(ACBB) →   O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo, o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e ganha.

(BCAA) Análogo ao caso ACBB.

Esses dois eventos nós já vimos no caso 1, pois atendem aos dois eventos pensados, belezinha?!

Continuando...

(ACBA) →   O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e perde.

(BCAB) →   O jogador B ganhou a primeira partida contra A, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo o C perdeu a terceira partida contra A, que foi o vitorioso. A por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com B e perde.

Show de bola?!

Passo 3

Beleza! Agora que conhecemos os possíveis resultados, podemos calcular a probabilidade de cada um ocorrer seguindo a regra do enunciado: atribua a cada ponto contendo K letras a probabilidade 1 2 k   (assim, AA tem probabilidade 1 4 ).

Assim:

  • K=2
  • P(AA) → 1 2 2 = 1 4

    P(BB) →   1 2 2 = 1 4

  • K=3
  • P(ACC) →   1 2 3 = 1 8

    P(BCC) → 1 2 3 = 1 8

  • K=4

P(ACBB) →   1 2 4 = 1 16

P(BCAA) → 1 2 4 = 1 16

P(ACBA) →   1 2 4 = 1 16

P(BCAB) →   1 2 4 = 1 16

Então a soma das probabilidades é:

1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 = 2 4 + 2 8 + 4 16

= 1 2 + 1 4 + 1 4 = 1

Pronto, provamos o que foi pedido na letra (A)!

Passo 4

b)

Na letra (B) precisamos calcular a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha duas partidas seguidas). Em seguida, calcular a probabilidade de que B vença.

Se você reparar, a probabilidade de A vencer será:

P ( A )   =   P ( A A ) + P ( B C A A )   =   1 4 + 1 16 = 5 16

Da mesma forma, a probabilidade de B vencer será:

P ( B ) =   P ( B B ) + P ( A C B B )   =   5 16

Show de bola?!

Passo 5

c)

Neste caso, queremos saber a probabilidade de termos quatro partidas sem nenhum vencedor. Isso acontecerá quando forem disputadas, ao todo, quatro partidas, porém não houve nenhum vencedor. Para isso vamos utilizar os dois possíveis cenários:

P ( N ) =   P ( A C B A ) + P ( B C A B ) = 1 8

Resposta

a)

A soma das probabilidade dá

1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 = 1

b)

P A = P B = 5 16

c)

P N = 1 8

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