Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Calcule a integral de linha I = ∫ C a → . d r → , onde   a → = x + y i → + y - x j → , ao longo de cada curva plana C dada abaixo, do ponto A = 1,1 ao ponto B = 4,2

(a) C é a parábola y 2 = x

Passo 1

Vamos seguir o passo a passo pra calcular uma integral de linha de função vetorial aqui. Precisamos parametrizar a curva, encontrar a derivada da parametrização e depois montar tudo na integral.

Bom, a nossa curva é relativamente simples, da pra parametrizar de forma explícita

y = y

x = y 2

C :   σ y = y 2 , y

O intervalo de y está entre os pontos A e B , certo?

Em A , temos que y = 1 ; enquanto em B temos que y = 2 , portanto

1 ≤ y ≤ 2

Passo 2

Vamos encontrar agora a derivada da curva

σ ' y = 2 y , 1

Simples né?

Passo 3

Precisamos encontrar como é o nosso campo vetorial com os parâmetros, olha só

F → x , y = x + y , y - x

Sabendo que x = y 2

F → y = y 2 + y , y - y 2

Passo 4

Juntando tudo na integral, fica assim

∫ 1 2 y 2 + y , y - y 2 ⏟ F y . 2 y , 1 ⏟ σ ' y d y

Fazendo o produto escalar dentro da integral:

= ∫ 1 2 y 2 + y 2 y + y - y 2 1 d y

= ∫ 1 2 2 y 3 + 2 y 2 + y - y 2 d y

= ∫ 1 2 2 y 3 + y 2 + y d y

Passo 5

Bom calcular isso agora

∫ 1 2 2 y 3 + y 2 + y d y

= 2 y 4 4 + y 3 3 + y 2 2 1 2

= 32 4 + 8 3 + 2 - 1 2 + 1 3 + 1 2

= 10 + 8 3 - 4 3

= 10 + 4 3

= 34 3

Resposta

34 3

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