Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

Ver Teoria

Enunciado

7. Calcule ∫ γ F → d r → , sendo dados:

d) F → x , y = x 2 , x - y e γ t = t , sin ⁡ t , t ∈ 0 , π .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos calcular a integral da função vetorial F → x , y = x 2 , x - y ao longo do caminho γ t = t , sin ⁡ t em que t ∈ 0 , π .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular uma integral de linha, podemos fazer uma adaptação na integral ∫ γ F → d r → como

∫ γ F → d r → → ∫ a b F → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se γ t = t , sin ⁡ t então F → γ t será dado por

F → x , y = x 2 , x - y → F → γ t = t 2 , t - sin ⁡ t

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d t d t , d sin ⁡ t d t

γ ' t = 1 , cos ⁡ t

Substituindo F → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = 0 e b = π ...

∫ γ F → d r → = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t → ∫ 0 π t 2 , t - sin ⁡ t · 1 , cos ⁡ t d t

∫ γ F → d r → = ∫ 0 π t 2 + cos ⁡ t t - sin ⁡ t d t

Simplificando...

∫ γ F → d r → = ∫ 0 π t 2 + t cos ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t d t

Calculando essa integral, temos

∫ t 2 + t cos ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t d t = t 3 3 + t sin ⁡ t + cos ⁡ t - sin 2 ⁡ t 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π t 2 + t cos ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t d t = π 3 3 + π sin ⁡ π + cos ⁡ π - sin 2 ⁡ π 2 - 0 3 3 + 0 sin ⁡ 0 + cos ⁡ 0 - sin 2 ⁡ 0 2

∫ 0 π t 2 + t cos ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t d t = π 3 3 - 1 - 1

∫ 0 π t 2 + t cos ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t d t = π 3 3 - 2

Portanto, temos que

∫ γ F → d r → = π 3 3 - 2

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ γ F → d r → = π 3 3 - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F x ,y = xs e nyi + yj em uma partícula que se move sobre a parábola y = x 2 de - 1 ,1 a 2 ,4 .
Seja F x , y = - yi + xj x 2 + y 2 Mostre que ∂ P / ∂ y = ∂ Q / ∂ x .Mostre que ∫ C F ⋅ d r não é independente do caminho. [Sugestão: calcule ∫ C 1 F ⋅ d r e ∫ C 2 F ⋅ d r onde C 1 e C 2 são as metade
Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência x 2 + y 2 = 1 .Isso também é verdadeiro para um campo d
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = x 2 i → + y 2 j → ,C é o arco da parábola y = 2 x 2 de ( - 1,2 ) a ( 2,8 )
Mostre que a integral de linha é independente e calcule a integral. ∫ C 2 x s e nyd x + ( x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 ) d y C é qualquer caminho de ( - 1,0 ) a ( 5,1 )