Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

Ver Teoria

Enunciado

Seja

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 y

um campo vetorial em R 2 . Calcule a integral de linha do campo F ao longo da curva C 1 , orientada no sentido anti-horário, onde:

C 1 é a circunferência de equação x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Bom, vamos começar parametrizando essa curva C 1 . Como se trata de uma circunferência, vamos usar coordenadas polares com r = 2 :

r t = ( 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t )

Onde 0 ≤ t ≤ 2 π (porque o sentido é anti-hórário).

Passo 2

Agora calculamos r → ' t :

r → ' t = d ( 2 cos ⁡ t ) d t ,   d ( 2 s e n   t ) d t = ( - 2   s e n   t ,   2 cos ⁡ t )

Passo 3

Vamos, então, usar a fórmula

∫ C 1   F x , y , z ⋅ d r = ∫ a b F x t ,   y t ⋅ r → ' t d t

O campo é dado por

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 y

Aplicando a parametrização, temos

F x t , y t = - 2   s e n   t 4 , 2   cos ⁡ t 4 + 6   s e n   t

F x t , y t = - 1 2 s e n   t , 1 2 cos ⁡ t + 6   s e n   t

Substituindo então na integral, temos

∫ C 1   F x , y , z ⋅ d r = ∫ 0 2 π - 1 2 s e n   t , 1 2 cos ⁡ t + 6   s e n   t . ( - 2   s e n   t ,   2 cos ⁡ t ) d t

= ∫ 0 2 π s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + 12 s e n   t cos ⁡ t d t =

= ∫ 0 2 π 1   + 12 s e n   t cos ⁡ t d t =

Passo 4

Finalmente, calculamos a integral

= t + 6   s e n 2 t 0 2 π =

= 2 π

Resposta

2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F x ,y = xs e nyi + yj em uma partícula que se move sobre a parábola y = x 2 de - 1 ,1 a 2 ,4 .
Seja F x , y = - yi + xj x 2 + y 2 Mostre que ∂ P / ∂ y = ∂ Q / ∂ x .Mostre que ∫ C F ⋅ d r não é independente do caminho. [Sugestão: calcule ∫ C 1 F ⋅ d r e ∫ C 2 F ⋅ d r onde C 1 e C 2 são as metade
Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência x 2 + y 2 = 1 .Isso também é verdadeiro para um campo d
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = 3 + 2 x y 2 i → + 2 x 2 y j → , C é o arco da hipérbole y = 1 x de ( 1,1 ) a
Mostre que a integral de linha é independente e calcule a integral. ∫ C 2 x s e nyd x + ( x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 ) d y C é qualquer caminho de ( - 1,0 ) a ( 5,1 )