Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

Ver Teoria

Enunciado

(Cap.16.3 - Exercício 5) Determine se F → é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

F → = x , y = e x ⋅ c o s y ⋅ i → + e x ⋅ s e n y ⋅ j →

Passo 1

Oiii gente linda, tudo bem?

Bom nossa questão deseja saber se o campo F → é conservativo ou não. Uma propriedade interessante do campo conservativo é que o trabalho independe da trajetória.

Tá, mais se ele for conservativo devemos encontrar a função escalar f . E o por que encontrar essa função escalar? Porque o campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial f .

Então para resolvermos esse exercício, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função de acordo com a definição para um campo vetorial de conservação.

Passo 2

Temos que para o campo ser conservativo tanto as derivadas em relação a x quanto a derivada em relação a y devem ser iguais. Ou seja:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Assim, temos que

∂ ∂ y e x ⋅ c o s y = − e x ⋅ s i n y

∂ ∂ x e x ⋅ s i n y = e x ⋅ s i n y

Como as derivadas não são iguais, temos que o campo não é conservativo.

E aí, não foi tão complicado né? Com calma você vai pegando o jeito!

Bons Estudos!

Resposta

Como as derivadas não são iguais, temos que o campo não é conservativo.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F x ,y = xs e nyi + yj em uma partícula que se move sobre a parábola y = x 2 de - 1 ,1 a 2 ,4 .
Seja F x , y = - yi + xj x 2 + y 2 Mostre que ∂ P / ∂ y = ∂ Q / ∂ x .Mostre que ∫ C F ⋅ d r não é independente do caminho. [Sugestão: calcule ∫ C 1 F ⋅ d r e ∫ C 2 F ⋅ d r onde C 1 e C 2 são as metade
Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência x 2 + y 2 = 1 .Isso também é verdadeiro para um campo d
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = x 2 i → + y 2 j → ,C é o arco da parábola y = 2 x 2 de ( - 1,2 ) a ( 2,8 )
Mostre que a integral de linha é independente e calcule a integral. ∫ C 2 x s e nyd x + ( x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 ) d y C é qualquer caminho de ( - 1,0 ) a ( 5,1 )