Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Sob ação da força F → x ,   y = - 3 y i → + 3 x j → , um objeto percorre a elipse γ : 4 x 2 + 25 y 2 = 100 , no sentido anti-horário. Qual o trabalho realizado pelo campo F → ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o trabalho realizado pelo campo de forças F → x ,   y = - 3 y i → + 3 x j → sobre a elipse 4 x 2 + 25 y 2 = 100 .

Pra isso, a gente precisa lembrar que o trabalho pode ser calculado através da integral de linha:

W = ∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t σ → ' t d t

Essa é a integral de linha de um campo vetoria F → ao longo da curva parametrizada σ → ( t ) . Perceba que escrevemos o campo vetorial em função do parâmetro t . Veja também que temos um produto escalar entre dois vetores, o que nos dará um número.

Então, temos que achar uma parametrização para a elipse, onde também vamos definir os intervalos de integração. Em seguida, fazemos o produto escalar entre os vetores e calculamos a integral do trabalho W .

Vamos lá!

Passo 2

Galera, no geral, uma elipse do tipo:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Tem uma parametrização do tipo:

x t = x 0 + a cos ⁡ t y t = y 0 + b sin ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Esse intervalo significa que a elipse dá uma volta completa. No nosso caso, podemos escrever a equação da elipse 4 x 2 + 25 y 2 = 100 na forma:

x 2 25 + y 2 4 = 1

Então, a = 5 e b = 4 . Assim, temos a parametrização:

x t = 5 cos ⁡ t y t = 2 sin ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Ou seja, σ → t = ( 5 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t ) . Derivando esse vetor, vamos ter:

σ → ' t = ( - 5 sin ⁡ t , 2 cos ⁡ t )

Passo 3

Além disso, para F → x ,   y = - 3 y i → + 3 x j → , usando a parametrização x t = 5 cos ⁡ t e y t = 2 sin ⁡ t , vamos ter:

F → x t ,   y t = - 3 2 sin ⁡ t ,   3 5 cos ⁡ t

F → x t ,   y t = ( - 6 sin ⁡ t ,   15 cos ⁡ t )

Então, vamos montar nossa integral:

W = ∫ a b F x t ,   y t σ → ' t d t

W = ∫ 0 2 π ( - 6 sin ⁡ t ,   15 cos ⁡ t ) ( - 5 sin ⁡ t , 2 cos ⁡ t ) d t

Fazendo o produto escalar entre os vetores do integrando:

W = ∫ 0 2 π ( 30 sin 2 ⁡ t + 30 cos 2 ⁡ t ) d t

Usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , temos:

W = ∫ 0 2 π ( 30 ) d t

Integrando:

W = 30 t 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

W = 30 2 π - 30 ( 0 )

W = 60 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

60 π

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