Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

Ver Teoria

Enunciado

1 . Considere os vértices P 1 = ( 2 ,   - 2 ) ,   P 2 = ( 1 ,   - 2 ) ,   P 3 = ( 1 ,   - 1 ) ,   P 4 = ( 4 ,   - 1 ) ,   P 5 = ( 4 ,   1 ) ,   P 6 = 1 ,   1 , P 7 = ( 1 ,   2 ) ,   P 8 = ( 2 ,   2 ) , conforme figura abaixo.

FIGURE 1 . Linhas poligonais com vértices P i ,   1 ≤ i ≤ 8 . No item ( a ) , o lado tracejado não está incluído na linha poligonal. No item ( b ) , todos os lados estão na linha poligonal.

Considere também o campo vetorial

F → = - 4 y i ^ + 5 x j ^ .

( a ) Para a linha poligonal aberta C 1 de vértices P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 percorridos no sentido indicado na figura, calcule

∫ C 1 F · t   d l .

( b ) Para a linha poligonal fechada C 2 de vértices P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 1 percorridos no sentido indicado na figura, calcule

∫ C 2 F · t   d l .

Passo 1

Vem comigo arrasar com essa questão!

Para calcularmos as integrais de linha temos que parametrizar as curvas C 1 e C 2 só que é mais vantagem parametrizar cada segmento dessas curvas e depois integrar um por um utilizando F → .

A integral geral fica seguinte forma:

∫ C i F · t   d l = ∫ C i - 4 y   d x + 5 x   d y

Onde d x = x ' t   d t e d y = y ' t   d t , x ' ( t ) e y ' ( t ) são derivadas da parametrização dos seguimentos.

Como estamos mexendo com retas a parametrização vai consistir bem dizer de um dos termos variando em um intervalo e o outro constante.

Passo 2

Vamos primeiro parametrizar cada seguimento de C 1 , temos:

P 1 P 2 : x = t y = - 2   ,   1 ≤ t ≤ 2 portanto d x = d t e d y = 0

P 2 P 3 : x = 1 y = t   ,   - 2 ≤ t ≤ - 1 portanto d x = 0 e d y = d t

P 3 P 4 : x = t y = - 1   ,   1 ≤ t ≤ 4 portanto d x = d t e d y = 0

P 4 P 5 : x = 4 y = t   ,   - 1 ≤ t ≤ 1 portanto d x = 0 e d y = d t

P 5 P 6 : x = t y = 1   ,   1 ≤ t ≤ 4 portanto d x = d t e d y = 0

P 6 P 7 : x = 1 y = t   ,   1 ≤ t ≤ 2 portanto d x = 0 e d y = d t

P 7 P 8 : x = t y = 2   ,   1 ≤ t ≤ 2 portanto d x = d t e d y = 0

Então a integral fica da seguinte forma:

∫ C 1 - 4 y   d x + 5 x   d y = ∫ 2 1 8   d t + ∫ - 2 - 1 5   d t + ∫ 1 4 4   d t + ∫ - 1 1 20   d t + ∫ 4 1 - 4   d t + ∫ 1 2 5   d t

+ ∫ 1 2 - 8   d t

Passo 3

Agora vamos resolver essas integrais, temos:

∫ C 1 - 4 y   d x + 5 x   d y = 8 t 2 1 + 5 t - 2 - 1 + 4 t 1 4 + 20 t - 1 1 - 4 t 4 1 + 5 t 1 2 - 8 t 1 2

= 8 ( 1 - 2 ) + 5 ( - 1 + 2 ) + 4 ( 4 - 1 ) + 20 ( 1 + 1 ) - 4 ( 1 - 4 ) + 5 ( 2 - 1 ) - 8 ( 2 - 1 )

= - 8 + 5 + 12 + 40 + 12 + 5 - 8

Então temos que:

∫ C 1 - 4 y   d x + 5 x   d y = 58

Passo 4

Agora vamos parametrizar C 2 . A parametrização de C 2 é igual a do C 1 só que mais o seguimento P 8 P 1 , que é dada por:

P 8 P 1 : x = 2 y = t   ,   - 2 ≤ t ≤ 2 portanto d x = 0 e d y = d t

Então a integral fica da seguinte forma:

∫ C 2 - 4 y   d x + 5 x   d y = ∫ 2 1 8   d t + ∫ - 2 - 1 5   d t + ∫ 1 4 4   d t + ∫ - 1 1 20   d t + ∫ 4 1 - 4   d t + ∫ 1 2 5   d t

+ ∫ 1 2 - 8   d t + ∫ 2 - 2 10   d t

Passo 5

Agora vamos resolver essas integrais, temos:

∫ C 2 - 4 y   d x + 5 x   d y = 8 t 2 1 + 5 t - 2 - 1 + 4 t 1 4 + 20 t - 1 1 - 4 t 4 1 + 5 t 1 2 - 8 t 1 2 + 10 t 2 - 2

= 8 1 - 2 + 5 - 1 + 2 + 4 4 - 1 + 20 1 + 1 - 4 1 - 4 + 5 2 - 1 - 8 2 - 1 +

+ 10 ( - 2 - 2 )

= - 8 + 5 + 12 + 40 + 12 + 5 - 8 - 40

Então temos que:

∫ C 2 - 4 y   d x + 5 x   d y = 18

Com isso finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

58

( b )

18

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F x ,y = xs e nyi + yj em uma partícula que se move sobre a parábola y = x 2 de - 1 ,1 a 2 ,4 .
Seja F x , y = - yi + xj x 2 + y 2 Mostre que ∂ P / ∂ y = ∂ Q / ∂ x .Mostre que ∫ C F ⋅ d r não é independente do caminho. [Sugestão: calcule ∫ C 1 F ⋅ d r e ∫ C 2 F ⋅ d r onde C 1 e C 2 são as metade
Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência x 2 + y 2 = 1 .Isso também é verdadeiro para um campo d
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = x 2 i → + y 2 j → ,C é o arco da parábola y = 2 x 2 de ( - 1,2 ) a ( 2,8 )
Mostre que a integral de linha é independente e calcule a integral. ∫ C 2 x s e nyd x + ( x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 ) d y C é qualquer caminho de ( - 1,0 ) a ( 5,1 )